Контрольная работа: Послідовність незалежних випробувань

Якщо перетворити праву частину функції і звести подібні члени, то коефіцієнт при визначає

У теорії ймовірностей часто застосовуються деякі закони розподілу випадкових величин. Розглянемо ці розподіли, а також задачі, де вони використовуються.

Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою

m = 0,1,2, …, n .

Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р . Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

2. Оцінка дисперсії

Оцінка параметра розподілу сукупності у загальному випадку є випадковою величиною, яка визначається за даними вибірки і використовується замість невідомого значення параметра, який потрібно оцінити.

Оцінка називається обґрунтованою , якщо вона збігається за ймовірністю до відповідного параметра при

Оцінка називається незміщеною , якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра.

У різі вибору з усіх відомих незміщених обґрунтованих оцінок певної оцінки потрібно зазначити критерій, за яким зроблено вибір.

Найчастіше застосовується критерій, який полягає у виборі оцінки, що має найменшу можливу дисперсію. Така оцінка називається ефективною . Нижня межа дисперсії незміщеної оцінки параметра (яку позначатимемо ), подається формулою:

де — щільність розподілу випадкової величини (для дискретної випадкової величини ).

Оцінки параметрів розподілу знаходять методами максимальної правдоподібності і моментів. Метод максимальної правдоподібності полягає ось у чому. Нехай закон розподілу випадкової величини подається через параметр , який у загальному випадку k -вимірний. Тоді для вибірки спільний закон розподілу подається функцією правдоподібності (запишемо, наприклад, для неперервних величин):

За оцінки максимальної правдоподібності параметрів беруться вибіркові функції, які є розв’язком системи рівнянь:

Застосування методу моментів ґрунтується на збіжності (за ймовірністю) статистичних моментів розподілу до відповідних теоретичних моментів розподілу, які в такому разі мають існувати. Як відомо, теоретичні моменти розподілу виражаються через параметри розподілу. Складаємо систему k рівнянь, в якій попарно прирівнюємо відповідні теоретичні і статистичні моменти. Розв’язком цієї системи є оцінки для параметрів розподілу.

Нехай маємо точкову оцінку параметра . Знайдемо для параметра інтервальну оцінку, скориставшись умовою В такому разі e називається точністю оцінки , а g — її надій- ністю . Тоді інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра q набуває вигляду Параметр q — не випадкова величина, надійність g можна розглядати як імовірність того, що випадковий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з обсягом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Приклади розв’язування задач

Приклад 1 . Вибірку обсягом n зроблено із сукупності, розподіленої за законом Релея

Знайти оцінку для параметра і перевірити її на незміщеність, обґрунтованість і ефективність.

Розв’язання. Застосуємо метод максимальної правдоподібності. Побудуємо функцію правдоподібності, складемо і розв’я жемо рівняння для визначення оцінки:

Перевіримо оцінку на незміщеність, знайшовши її математичне сподівання: