Контрольная работа: Послідовність незалежних випробувань

Перетворення виконано згідно з властивостями математичного сподівання та з урахуванням того, що результати вибірки є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами. Знайдемо випадкової величини, розподіленої за законом Релея:

Тоді тобто оцінка незміщена.

Перевірку обґрунтованості оцінки виконаємо, скориставшись другою формою нерівності Чебишова, тобто оцінимо ймовірність Щоб знайти дисперсію оцінки, виконаємо обчислення:

(Останній інтеграл, що є математичним сподіванням квадрата випадкової величини, дорівнює і обчислювався раніше.) Тоді Отже, маємо:

Підставляючи дисперсію оцінки в нерівність Чебишова, дістаємо:

Отже, оцінка обґрунтована.

Знаходимо дисперсію ефективної оцінки:

Дисперсія ефективної оцінки збігається з дисперсією знайденої оцінки для а це означає, що оцінка ефективна.

Приклад 2 . За методом моментів знайти оцінку параметра р геометричного розподілу за даними вибірки обсягом n .

Розв’язання. Геометричний закон розподілу визначається формулою:

Оскільки потрібно знайти оцінку одного параметра, зрівнюємо теоретичні і статистичні початкові моменти першого порядку:

Приклад 3 . За даними вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності, дисперсія якої , а надійність , знайти інтервальну оцінку для математичного сподівання цієї сукупності.

Розв’язання. Інтервальна оцінка для математичного сподівання, якщо дисперсія сукупності відома, подається у вигляді

де де — функція Лапласа.

Для побудови оцінки розглядалась вибіркова функція яка має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 4 . Розв’язати попередню задачу для випадку, коли дисперсія сукупності невідома.

Розв’язання. У цьому випадку інтервальну оцінку побудуємо за допомогою вибіркової функції

яка розподілена за законом Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Довірчий інтервал

де а де — функція розподілу Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Якщо кількість ступенів волі перевищує 20, то розподіл Стьюдента практично не відрізняється від нормального закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 5 . За результатами вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності з надійністю знайти довірчий інтервал для дисперсії сукупності.