Контрольная работа: Прогноз среднего значения цены

Х^Т Х = Х^Т Y =

Найдем матрицу (Х^т Х), обратную матрице Х^Т Х.

Для этого сначала вычислим определитель.

Х^Т Х = 16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175 = 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548

Определим матрицу алгебраических дополнений

Задача 3

В таблице представлены ежегодные данные объема продаж автомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда. Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а₀ а₁ t +ε с методом наименьших квадратов.

Таблица 2 Ежегодные объемы продаж

t годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
zt , продажи, тыс.у.е.	350	314	300	293	368	393	339	443	467	457	488	424

Для найденного уравнения тренда построить доверительную полосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальный прогноз среднего объема продаж.

В таблице 3 объемы продаж z_t в тыс. у.е. детализированы по месяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:

z_{1 =} а₀ а₁ t + а₂ cos (2πt/12) + а₃ sin (2πt/12) + ε_t

Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.

По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогноз среднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объема продаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.

Ежемесячные объемы продаж

t,годы	Zt	t	yt t	t2
1	2	3	4	5
1	350	1	350	1
2	314	2	728	4
3	300	3	900	9
4	293	4	1172	16
5	368	5	1840	25
6	393	6	2358	36
7	339	7	2373	49
8	443	8	3544	64
9	467	9	3736	81
10	457	10	4570	100
11	488	11	5368	121
12	424	12	5088	144
78	4636	78	32027	650

∑t = ½*12 (12+1) = 78

∑t² = 1/6 *12 (12+1) (24+1)= 650

а₀ = 515294/1716=283,61

а₁ == 22716/1716=15,804

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:

y= 283,61+15,84t

Доверительный интервал для линейного тренда находится по формуле:

ŷв.н. = ŷ(х₀ ) ± t_{1- α /2, n -2} S_ŷ ,

где у_в , у_н – соответственно верхняя и нижняя границы

доверительногоинтервала;

ŷ(х₀ ) – точечный прогноз;

t_{1- α /2, n -2} –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

ŷв.н. = ŷ(х₀ ) ± t_{1- α /2, n -2} S_ŷ ,