Контрольная работа: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) 
;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) ÞP
= F(1) – F
= 
– 0 = .
Графики функций поданы далее.
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.
Используем формулу Р(α < x < β) = 
Имеем: Р(2 < x < 13) =
= Ф
– Ф(–2).
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
Поданному статистическому распределению выборки
| хі | 4 | 5,8 | 7,6 | 9,4 | 11,2 | 13 | 14,8 | 16,6 |
| mі | 5 | 8 | 12 | 25 | 30 | 20 | 18 | 6 |
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h– это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда 
.
Заполним таблицу:
| xi | mi | xi ´ | xi mi | (xi ´)²mi |
| 4 | 5 | – 4 | – 20 | 80 |
| 5,8 | 8 | – 3 | – 24 | 72 |
| 7,6 | 12 | – 2 | – 24 | 48 |
| 9,4 | 25 | – 1 | – 25 | 25 |
| 11,2 | 30 | 0 | 0 | 0 |
| 13 | 20 | 1 | 20 | 20 |
| 14,8 | 18 | 2 | 36 | 72 |
| 16,6 | 6 | 3 | 18 | 54 |
| ∑ = 124 | ∑ = – 19 | ∑ = 371 |
Используя таблицу, найдём 
;
D(x´) = ∑(xi ´)²mi – (xi ´)² = 
– (– 0,1532)² = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242;D(x) =D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблиценайти выборочное уравнение регрессии.
 |
| у х | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | ny |
| 5 | 4 | 2 | 6 | ||||
| 15 | 5 | 23 | 28 | ||||
| 25 | 18 | 44 | 5 | 67 | |||
| 35 | 1 | 8 | 4 | 13 | |||
| 45 | 4 | 2 | 6 | ||||
| nx | 4 | 7 | 42 | 52 | 13 | 2 | n= 120 |
Для упрощения расчетов введем условные переменные