Контрольная работа: Вычисление интегралов

Поэтому

ΔL = = ,

а длина всей ломанной MMM … MM равна

L = ΔL = .

Длина кривой AB, по определению, равна

L = L = ΔL.

Заметим, что при ΔL 0 также и ΔX 0 (ΔL = и следовательно | ΔX | < ΔL). Функция непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=ΔL= , кода max ΔX 0:

L = = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)

Рис 3

Найдем ¼ часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как

y = , ¼L = dx = R arcsin = R .

Значит L = 2R.

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке [].

Если в равенствах x = rcos, y = rsin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически

Тогда

Поэтому

= =

Применяя формулу L = ,

получаем L =

Рис.4

Пример:Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos). (рис. 4)

Решение:Кардиоида r = a (1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:

½ L ==a=a = 2a cos d = 4a sin = 4a.

4. Нахождение объема тел