Математика / Контрольная работа: Вычисление интегралов

Контрольная работа: Вычисление интегралов

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox : S = S ( x ), a ≤ x ≤ b [5]

Применим схему II (метод дифференциала).

Рис 5

1. Через произвольную точку x [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох . Обозначим через S ( x ) площадь сечения тела этой плоскостью; S ( x ) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v ( x ) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина v есть функция от x , т.е. v = у( x ) (v(a) = 0, v(b) = V ).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

«элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S ( x ) и высотой dx . Поэтому дифференциал объема dV = S (х) d х.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования d А в пределах от a до b:

V = S ( x ) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример:Найти объем эллипсоида (рис 6) [5]

Рис 6

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a ≤ x ≤ b. ), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc (1 – ). Поэтому, по формуле имеем

V = bc (1 – ) dx = abc .

Объём тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f (х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси O х ), есть круг с радиусом у = f (х). Следовательно,S ( x )= y .