Контрольная работа: Вычисление интегралов
Поэтому
ΔL =
=
,
а длина всей ломанной MM
M
… M
M
равна
L =
ΔL
=
.
Длина кривой AB, по определению, равна
L = L
=
ΔL
.
Заметим, что при ΔL 0 также и ΔX
0 (ΔL
=
и следовательно | ΔX
| < ΔL
). Функция
непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f
(X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L
=
ΔL
=
, кода max ΔX
0:
L = =
dx.
Таким образом, L = dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)
|
Найдем ¼ часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как
y = , ¼L =
dx = R arcsin
= R
.
Значит L = 2R.
Полярные координаты
Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(),
. Предположим, что r(
) и r
(
) непрерывны на отрезке [
].
Если в равенствах x = rcos, y = rsin
, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол
, то кривую AB можно задать параметрически
Тогда
Поэтому
=
=
Применяя формулу L = ,
получаем L =
|
Пример:Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos). (рис. 4)
Решение:Кардиоида r = a (1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:
½ L ==a
=a
= 2a
cos
d
= 4a sin
= 4a.
4. Нахождение объема тел