Контрольная работа: Задачі максимізації та оптимізації діяльності підприємства

Моделі керування запасами покликані дати суб'єкту керування відповідь на питання про те, який рівень запасу ресурсів варто мати, як він повинний змінюватися в часі, оновлятися в зв'язку з надходженням і витратою ресурсів, щоб забезпечити безперебійність, надійність проходження економічних процесів і в той же час мінімізувати витрати, пов’язані зі збереженням, поповненням і витратою запасів. Тому що рівень попиту зненацька виникаючих потреб у витраті ресурсів, що запасаються, має найчастіше випадковий характер, то моделі керування запасами повинні бути стохастичними, імовірнісними. Але в спрощеній постановці можливо і використання детермінованих моделей.

Найбільш поширені моделі керування складськими запасами. Розглянемо спочатку, як формується економіко-математична модель керування складськими запасами в загальній постановці.

Познаніжо поточний рівень запасу продукту на складі в момент часу t величиною 3(t). Тоді справедлива рівність

3(t) = 3нач + P(t) – R(t), (4)

де 3нач – початковий запас товарів на складі в момент t = 0;

P(t) – надходження товарів на склад за час t;

R(t) – витрата товарів зі складу за час t.

Очевидно, що в будь-який момент запас товарів на складі не може бути негативним, тобто

3(t) ≥ 0, (5)

Надходження і витрата товарів зі складу звичайно виробляється партіями. Позначивши обсяг постачання в одній партії через Pi, а обсяг партії, що витрачається, Ri, перетворимо вихідне співвідношення до виду

, (6)

де n – кількість партій товару, що поставляються;

m – кількість партій товару, що витрачаються.

Цю рівність можна розглядати як базисну в моделі керування запасами. У залежності від того, які величини, показники в ньому задані, а які є шуканими, розрізняють різні види керування запасами. У модель можуть входити також обмежувальні умови і додаткові зв'язки між показниками, змінними величинами. Часто в модель включаються показники витрати, що характеризують, на постачання, збереження, відправлення товарів зі складу і задача ставиться в площині мінімізації витрат. Замість одного виду товару іноді доводиться розглядати кілька видів, що ускладнює задачу.

4. Задача мінімізації витрат на доставку і збереження товару на складі

Товар поставляється на склад партіями, кожна партія має той самий обсяг x. За доставку однієї партії товару склад сплачує C1 грн., величина C1 не залежить від обсягу партії. За час Т склад одержує кількість товару, рівною Q. Збереження одиниці об'єму товару в одиницю часу коштує складу в C2 грн.. Товар зі складу рівномірно постачається замовникам, які самі оплачують перевезення товарів зі складу. Потрібно встановити мінімальний обсяг партії постачання х, при якому сумарні витрати складу на доставку будуть мінімальними.

Встановимо спочатку витрати на доставку товару за час T. Тому що кількість партій дорівнює частці від розподілу загального обсягу постачань Q на обсяг однієї партії х, то витрати рівні . Витрати на збереження встановимо, виходячи з того, що отримана складом партія товару х витрачається рівномірно, таким чином, на складі зберігається в середньому кількість товару, рівна половині поставленої партії, тобто . Множачи цю кількість на час T і на питомі витрати збереження одиниці товару на одиницю часу, одержуємо, що загальні витрати на збереження рівні . Таким чином, сумарні витрати C складають

.

Треба знайти значення обсягу партії х, при якому сумарні витрати З виявляться мінімальними. Як відомо з математики, у точці екстремуму безупинної функції З(х) похідна від її за аргументом х дорівнює нулю. Отже,

,

звідки знаходимо шукане значення х0, тобто оптимальний обсяг партії товару

.

Це і є роз’вязання задачі.

Наприклад, якщо З1 = 6000 грн. за доставку партії товару, З2 = 300 грн. за збереження тонни товару на складі протягом доби, загальний обсяг постачання Q = 100 тонн за час Т = 40 доби, то

т,

тобто для мінімізації витрат на доставку і збереження товару на складі треба поставляти його на склад партіями по 10 тонн у кожній партії.

5. Ігрові моделі

Ігрові економіко-математичні моделі являють математичний опис економічних ситуацій, в яких відбувається зіткнення, протиставлення інтересів двох або декількох протиборствуючих сторін (гравців), які переслідують різні цілі і діють таким чином, що лінія, спосіб дії одного з учасників залежить від дій іншого. Математична модель подібної конфліктної ситуації одержала назву гри, в якій беруть участь особи, які протистоять; сторони іменуються гравцями, а результат протистояння сторін називають виграшем і, відповідно програшем. Якщо виграш гравця дорівнює програшу його супротивника, то така гра двох осіб називається грою з нульовою або антагоністичною сумою.

Ігрові моделі дозволяють учасникам гри вибрати так звану оптимальну стратегію, тобто встановити, в залежності від ситуації, що складається, спосіб дій, який дозволяє максимізувати можливий виграш або мінімізувати можливий програш. Найбільш простий варіант гри – парна кінцева гра двох гравців, у якій кожний з них має вибір з кінцевого числа стратегій. Обрисуємо модель такої гри взагалі, а потім наведемо ілюстровані приклади її використання.