Контрольная работа: Задачі максимізації та оптимізації діяльності підприємства

Загальний вид платіжної матриці, рядки якої відповідають стратегіям гравця А, а стовпці – стратегіям гравця В, зображений на рис. 2.

Рисунок 2. - Платіжна матриця парної гри

B1	B2	Bm
A1	a11	a12	a1m
A2	a21	a22	a2m
An	an1	an2	anm

При виборі своєї стратегії Ai з нчиру n можливих стратегій А1, А2, …, Аn гравець А повинний враховувати, що його суперник У вибере у відповідь стратегію Bj з нчиру можливих стратегій, прагнучи звести виграш гравця А до мінімуму. Нехай найменший із усіх можливих виграшів гравця А при виборі ним стратегії Ai, тобто найменше значення aij у “i” рядку платіжної матриці дорівнює ai, тобто ai = min aij. Найбільше зі значень ai(i=1, 2, …, n) познаніжо, a, отже, a = max ai. Таке максимальне значення з набору мінімальних виграшів гравця, що відповідають усьому спектру застосовуваних ним стратегій, називають нижньою ціною або максимальним виграшем з мінімальних – максиміном. Максимін являє собою гарантований виграш гравця А при будь-якій стратегії гравця В, тому що гравець А може вибрати ту стратегію, яка приносить йому максимальний виграш з мінімально можливих.

Гравець В, прагнучи зменшити виграш гравця А і розуміючи, що А прагне до максимального виграшу, вибираючи свою контрстратегію Вj, аналізує, насамперед, максимально можливі виграші гравця А. Нехай серед усіх виграшів гравця А при виборі гравцем В стратегії Bj максимально можливе значення дорівнює bj, тобто bj = max bij. Найменше з усіх можливих значень bj(j=1, 2, …, m) познаніжо b, тобто b = min bj. Таке мінімальне значення з нчиру максимальних виграшів гравця, що відповідає всьому спектру застосовуваних ним стратегій, називають верхньою ціною гри або мінімальним виграшем з максимальних – мінімаксом. Мінімакс являє неминучий програш гравця В при кожній зі стратегій гравця А, тому що гравець А буде, природно, прагнути максимізувати програш гравця В і відповідним чином вибирати свою стратегію.

Відомий у теорії ігор принцип мінімакса рекомендує гравцям вибирати з розумінь обережності, зменшення ризику максимінну стратегію при прагненні одержати найбільший виграш або мінімаксну при прагненні мінімізувати програш. Проілюструємо це положення на простих прикладах.

6. Модель гри Людини з Природою

У багатьох випадках результат діяльності людей залежить не тільки від вибору ними тієї або іншої стратегії, але і від ситуацій, що складаються в зовнішнім середовищі. Класичний випадок – вплив погодних умов, природних явищ на підсумки економічної діяльності. Люди як би грають із Природою, що створює різні ситуації, які не сприяють одержанню людьми кращих результатів. Яку ситуацію “вибере” Природа у своїй грі з людьми – важко передбачати і тому доводиться враховувати можливі ситуації.

Нехай Людина має у своєму розпорядженні можливість здійснювати три стратегії дій Ai з метою одержання прибутку, а Природа здатна створити чотири види ситуацій Bj, кожна з яких впливає тим або іншим способом на величину прибутку. Складемо платіжну матрицю, у клітинах якої зафіксовані розраховані визначеними методами (які в прикладі не розглядаються) величини можливого прибутку. Наприклад, матриця прибутків у тисячах грн. має вид:

B1	B2	B3	B4
A1	25	32	29	27
A2	29	36	28	32
A3	27	28	31	24

Застосуємо максимінну стратегію, прагнучи дістати найбільший прибуток. Виділимо в кожнім з рядків матриці мінімальні значення прибутку, що можуть бути отримані при здійсненні однієї з можливих стратегій A1, A2, A3 і самих несприятливих умовах, створюваних Природою. Це 25 тис. грн. при стратегії А1, 28 тис. грн. при стратегії А2 і 24 тис. грн. при стратегії А Максимальне з цих значень – 28 тис. грн.. відповідає максимінній стратегії А2, що і варто вибрати, забезпечивши тим самим гарантоване одержання цієї величини прибутку при будь-яких умовах, ситуаціях, створюваних Природою.

Проілюструємо тепер мінімаксну стратегію, використовуючи платіжну матрицю, у клітинах якої зазначені величини втрат, що виникають при здійсненні стратегій A1, A2, A3 в умовах B1, B2, B3, B4. Нехай матриця має вид

B1	B2	B3	B4
A1	53	55	48	51
A2	49	52	50	56
A3	51	53	52	47

Виділяємо в кожному з рядків матриці максимально можливі при здійсненні даної стратегії втрати. Це – 55 при стратегії А1, 56 – при стратегії А2 і 52 – при стратегії А Мінімальне з цих значень дорівнює 52 і відповідає стратегії А3, що і є мінімаксною.