Курсовая работа: Аффинные преобразования

где через S' обозначена площадь многоугольника, соответственного многоугольнику S. Так как в течение всего процесса (изменения многоугольников), согласно доказанной выше теореме, должны иметь:

S = kS',

то переход к пределу дает =k.

Следовательно,

Полученное свойство может быть представлено как инвариант перспективно-аффинного соответствия.

В самом деле, обозначим через иплощади, ограниченные двумя кривыми произвольного вида, а через ' и ' - площади, ограниченные соответственными кривыми, тогда, по доказанному, будем иметь:

или, переставляя средние члены пропорции:

что может быть выражено следующими словами: отношение двух каких-либо площадей не изменяется (является инвариантом) в перспективно-аффинном соответствии.

Общее аффинное соответствие

Перспективно-аффинное соответствие двух плоскостей может быть получено с помощью параллельной проекции.

Рассмотрим теперь соответствие двух плоскостей, образованное многократным применением параллельного проектирования. Так, на чертеже 11 плоскость w проектируется параллельно прямой l на плоскость w'. Эта плоскость проектируется параллельно прямой l' на плоскость w". Наконец, последняя проектируется параллельно прямой l" на плоскость w'". Таким образом, между плоскостями w и w"'устанавливается соответствие, в котором точкам A,B,C первой плоскости соответствуют точки А'", В'", С" второй. Нетрудно убедиться в том, что это соответствие может не быть параллельной проекцией, но в то же время обладает инвариантными свойствами перспективно-аффинного соответствия. В самом деле, соответствие плоскостей w и w"' является цепью последовательных параллельных проектирований. Так как каждое такое проектирование сохраняет коллинеарность и простое отношение трех точек, то теми же свойствами должно, очевидно, обладать и результирующее соответствие плоскостей wи w'''.

То же самое можно сказать и об остальных инвариантных свойствах, рассмотренных в случае перспективно-аффинного соответствия, которое оказывается, таким образом, лишь тем частным случаем, когда прямые, соединяющие соответственные точки, параллельны между собой:

По этой именно причине такое соответствие называется перспективно- аффинным.

Соответствие же плоскостей w и w''' называется аффинным. Мы пришли к этому понятию, воспользовавшись цепью перспективно-аффинных преобразований (или параллельных проекций). Если каждое из них обозначим буквами Р, Р',Р" а результирующее преобразование — буквой А, можем представить аффинное преобразование А следующей символической формулой:

А = Р • Р' • Р",

в которой правая часть представляет собой «произведение» перспективно-аффинных преобразований, т. е. результат их последовательного применения.

Те же рассуждения можно было бы провести, не выходя из одной плоскости, для чего достаточно рассматривать цепь перспективно-аффинных преобразований плоскости в себя. Каждое из преобразований может быть задано осью и парой соответственных точек. Так, например, на чертеже 12 первое преобразование Р задано осью хх и парой (А, А'); второе Р' — осью и парой (А', А"); третье Р" — осью х"х" и парой (А'' А'"). В результирующем преобразовании А точке А соответствует точка А'". На том же чертеже показано построение точки В"', соответственной точке В.

Изложенное показывает, что преобразования, полученные при помощи цепи параллельных проекций (или перспективно-аффинных преобразований), обладают свойствами коллинеарности и сохранения простого отношения трех точек.

2.4 Применение аффинных преобразований при решении задач

Если в задаче затрагиваются только такие свойства фигур, которые сохраняются при произвольном аффинном преобразовании, то задача называется аффинной. Если же в задаче речь идет о свойствах, сохраняющихся при преобразованиях подобия, но нарушающихся при каком- либо аффинном преобразовании, то задача называется метрической. Например, задача «доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке»- аффинная, а такие же задачи для высот и биссектрис- метрические.

Для решения аффинных задач рекомендуются следующие приемы:

1. Какую- либо из фигур аффинным преобразованием перевести в более простую, например, треугольник - в правильный треугольник, параллелограмм- в квадрат и т.д.

2. Применить аффинные координаты.

Эти идеи иллюстрируются первыми двумя из следующих задач.

1)Докажите, что прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей трапеции АВСD с точкой пересечения Q боковых сторон, проходит через середины оснований трапеции.

Способ решения 1. Возьмем произвольный равнобедренный треугольник А'О'D'(рис.10) и рассмотрим аффинное преобразование α: . Обозначим точки пересечения прямой РQ с основаниями через х и у. Обозначим α(В)=В', α(С)=С', α(Р)=Р' и т.д. Очевидно, что точка Р' есть точка пересечения А'С' и В'D', точка х'- точка пересечения А'D' и Р'Q', точка у'- точка пересечения В'С' и Р'Q'. Так как . То достаточно показать, что .

Способ ?