Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание
произвольной полугруппы
--- группа. Более точно: если
--- аннулятор
в
, то
совпадает с
Здесь вместо можно написать
.
Доказательство. Во-первых, и, значит,
. Действительно, если
,
и
, то
, т. е.
. Подпространство
многочленов из
степени
отображается оператором
на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё
отображается на себя, как объединение всех
.
Во-вторых, , т. е.
для каждого
. Действительно, пусть
. По уже доказанному,
. Найдём
с условием
. Тогда
.
В-третьих, , т. е.
для всех
,
. Действительно,
. Предложение доказано.
Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е.
--- многообразие,
--- густое подмножество, плотное в
. Тогда каждый элемент
является произведением двух элементов из
; в частности, если
--- подгруппа, то она совпадает с
.
Доказательство. Множества и
тоже густые и плотные, поэтому пересечение
непусто (см. п. 8.2).
Если --- полугруппа из
, то
.
1.3 Компоненты алгебраической группы
Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия
называеются компонентами группы
. наличие в
групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.
1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента
, содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы
по
(в частности, они являются связными компонентами группы
в полиномиальной топологии).
--- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в
. Аннулятор
компоненты
связан с аннулятором
всей группы
следующим образом:
для некоторого
, зависящего от
, где
--- аннулятор единицы в
,
--- некоторый многочлен из
.
Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент
группы
. Пусть
,
содержат единицу
,
,
--- их независимые общие точки над
и
,
. Имеем специализации
над , откуда
,
,
. Этим доказана единственность компоненты
.
б) Очевидно, что отображения
являются гомеоморфизмами пространства . Так как
инвариантна относительно них, то
--- нормальная подгруппа группы
.
в) Пусть . Тогда
при фиксированном
--- снова все компоненты группы
. В частности,
,
. Этим доказано, что
--- смежные классы
по
и, значит, связные компоненты группы
.
г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы
, то, предыдущему,
. Если, кроме того,
конечного индекса, то она той же размерности, что и
, потому совпадает с
.
д) Для каждого возьмем многочлен
Пусть --- точка из
, в которой
. Рассмотрим многочлен