Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
Пусть ,
. Имеем:
Если , то
, если же
,
, то
. В любом случае
. Следовательно,
. Теорема доказана.
Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа алгебраической группы
тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы
.
<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы
всегда лежит в центре
.
В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать
-порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).
1.4. О
-группах
Пусть - поле. По определению, алгебраическая
-группа --- это группа матриц из
, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в
. Иначе можно сказать, что это
-порция, т. е. пересечение с
, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над
. Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как
-группы по отношению к некоторой большей универсальной области
. В этом смысле понятие алгебраической
-группы является более общим, так как от
не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.
В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же
-группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в
) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для
-множеств, (по определению, алгебраическое
-множество выделяется в
уравнениями с коэффициентами из
).
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
В арифметическом линейном пространстве столбцов высоты
рассмотрим
векторов
и их линейную оболочку . Пусть дан еще один вектор
. Спрашивается, принадлежит ли
подпространству
, а если принадлежит, то каким образом его координаты
выражаются через координаты векторов
. В случае
вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора
в базисе
. Мы берем линейную комбинацию векторов
с произвольными коэффициентами
и составляем уравнение
. Наглядный вид этого уравнения
есть лишь иная запись системы из линейных уравнений с
неизвестными:
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму значком
. При этом
--- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы ,
в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины в прямоугольную матрицу размера
: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг матрицы
Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы размера
введенное выше пространство
, которое мы будем обозначать теперь символом
или просто
(в --- вертикальный). Его размерность
назовем рангом по столбцам матрицы
. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы
:
, где
--- подпространство в
, натянутое на векторы-строки
,
(г --- горизонтальный). Другими словами,