Курсовая работа: Анализ системы управления Общежитие

,

где m – число дуг;

n – число вершин.

Согласно этой формуле ГСУ «Общежитие» содержит 9 основных контуров (=23-15+1=9). Остовное дерево ГСУ «Общежитие» представлено на рисунке 2.4, а матрица основных контуров на рисунке 2.5.

Рисунок 2.4 – Остовное дерево ГСУ «Общежитие»

1/4	4/5	4/10	5/12	6/5	8/6	9/5	10/5	13/5	1/10	2/10	3/5	5/4	5/6	5/10	6/8	7/5	9/4	11/10	12/5	13/10	14/5	15/5
1/4	1	-1	-1	1
4/5	1	1
4/10	1	1	-1
5/12	1	1
6/5	1	1
8/6	1	1
9/5	1	1	-1
10/5	1	1
13/5	1	1	-1

Рисунок 2.5 – Матрица основных контуров С

2.4 Матрица расстояний

Матрицей расстояний орграфа называется матрица R=||||_{n ´ n} , в которой элемент равен длине кратчайшего пути из вершины i в вершину j. Если такого пути нет, то соответствующий элемент полагается равным бесконечности =∞, а =0. Матрица расстояний ГСУ «Общежитие» представлена на рисунке 2.6.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	∞	∞	1	2	3	∞	4	∞	1	∞	3	∞	∞	∞
2	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	1	∞	3	∞	∞	∞
3	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
4	∞	∞	∞	1	2	∞	3	∞	1	∞	2	∞	∞	∞
5	∞	∞	∞	1	1	∞	2	∞	1	∞	1	∞	∞	∞
6	∞	∞	∞	2	1	∞	1	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
7	∞	∞	∞	2	5	2	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
8	∞	∞	∞	3	2	1	∞	∞	3	∞	3	∞	∞	∞
9	∞	∞	∞	1	1	2	∞	3	2	∞	2	∞	∞	∞
10	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	∞	2	∞	∞	∞
11	∞	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	1	3	∞	∞	∞
12	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	∞	∞	∞
13	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	1	∞	2	∞	∞
14	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞
15	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞

Рисунок 2.6 – Матрица расстояний R

2.5 Матрица достижимостей

Матрицей достижимостей орграфа называется матрица D=||||_{n ´ n} , в которой элемент =1, если существует путь из вершины i в вершину j (т.е. вершина j достижима из вершины i), иначе =0, а =1. Матрица достижимостей ГСУ «Общежитие» представлена на рисунке 2.7.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	1	1
3	1	1	1	1	1	1	1
4	1	1	1	1	1	1
5	1	1	1	1	1	1
6	1	1	1	1	1	1
7	1	1	1	1	1	1	1
8	1	1	1	1	1	1
9	1	1	1	1	1	1	1
10	1	1	1	1	1	1
11	1	1	1	1	1	1	1
12	1	1	1	1	1	1
13	1	1	1	1	1	1	1
14	1	1	1	1	1	1	1
15	1	1	1	1	1	1	1

Рисунок 2.7 – Матрица достижимостей D

2.6 Матрица обходов

Матрицей обходов орграфа называется матрица S=||||_{n ´ n} , в которой элемент равен длине наибольшего пути из вершины i в вершину j, если такого пути нет, то соответствующий элемент полагается равным бесконечности, т. е. =∞. Матрица обходов ГСУ «Общежитие» представлена на рисунке 2.8.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	∞	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	3	∞	3	∞	∞	∞
2	∞	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	1	∞	3	∞	∞	∞
3	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	3	∞	2	∞	∞	∞
4	∞	∞	∞	2	2	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
5	∞	∞	∞	1	2	1	∞	2	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
6	∞	∞	∞	2	1	2	∞	1	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
7	∞	∞	∞	2	5	6	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
8	∞	∞	∞	3	2	1	∞	2	∞	4	∞	3	∞	∞	∞
9	∞	∞	∞	2	2	2	∞	3	∞	3	∞	2	∞	∞	∞
10	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
11	∞	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	1	∞	3	∞	∞	∞
12	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	2	∞	2	∞	∞	∞
13	∞	∞	∞	3	2	3	∞	4	∞	2	∞	3	∞	∞	∞
14	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	3	∞	2	∞	∞	∞
15	∞	∞	∞	2	1	2	∞	3	∞	3	∞	2	∞	∞	∞

Рисунок 2.8 – Матрица обходов S

3. Анализ числовых характеристик СУ «Общежитие»

Для сравнения структурных свойств различных графов определяют их числовые характеристики (инварианты), которые выражаются числами или системами чисел, характеризуют определенные свойства и являются одинаковыми для изоморфных графов. Простейшими инвариантами графа являются числа его вершин n и дуг m. Ниже будут рассмотрены более сложные числовые характеристики ГСУ и их интерпретация.

3.1 Степень (полустепень) вершины

Полустепенью исхода вершины орграфа называется число инцидентных дуг, выходящих из вершины, а полустепенью захода — число инцидентных дуг, заходящих в вершину. Для определения данной числовой характеристики используется матрица смежностей (рисунок 2.2), в которой сумма элементов строки равна полустепени исхода соответствующей вершины, а сумма элементов столбца – полустепени захода.

Данные характеристики вычисляются по формулам:

,

,

где и - полустепени исхода и захода вершин i и j соответственно;

n - число вершин орграфа;

— элемент матрицы смежностей A.

Степень вершины i определяется как общее число дуг, инцидентных данной вершине, т.е. сложением полустепеней захода и исхода вершин:

Полустепени исхода и захода вершин для данного графа представлены
в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Вершины	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2	1	1	2	4	2	1	1	2	1	1	1	2	1	1
	0	0	0	3	10	2	0	1	0	6	0	1	0	0	0
	2	1	1	5	14	4	1	2	2	7	1	2	2	1	1

Вывод: по данной числовой характеристике наиболее загруженным элементом СУ «Общежитие» является «Комендант», т.е. вершина 5.

3.2 Число контуров

Контуры управления определяют наиболее устойчивые, охваченные обратной связью, функциональные подструктуры СУ. С увеличением количества дуг ГСУ число основных контуров увеличивается, однако значительное увеличение числа основных контуров может привести к таким неприятным последствиям как, например, уменьшение степени централизации управления в структуре, т.е. к снижению эффективности управления. Поэтому на практике полезно исследовать матрицу основных контуров ГСУ (рисунок 2.5), которая отражает свойства системы всех контуров.

Вывод: ГСУ «Общежитие» содержит 9 основных контуров, причем контуры, определяемые хордами 45;510;512;56;68 являются тривиальными и состоят только из двух дуг. Рассматриваемый ГСУ содержит также 4 линейно зависимых контура.

3.3 Длины путей