(2.29)

. (2.30)

Эта линейная система уравнений имеет одно решение. Для удобства запишем его таким образом: где

. (2.31)

2.2.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка . Положим в уравнениях (2.26) и (2.27) , и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.32)

(2.33)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям и . Условие разрешимости системы имеет вид:

,

D = (2.34)

=.

где

= (2.35)

= (2.36)

Таким образом, видимо, что характер поведения определяется величиной параметра Если параметр лежит в интервале:

, (2.37)

то особая точка будет устойчивым фокусом, следовательно, возможны колебания.

Система имеет тенденцию проявлять максимально колебательное поведение во времени при убывании и возрастании остальных параметров. Максимальное отношение частоты к коэффициенту затухания реализуется в предельных условиях когда , а остальные параметры стремятся к бесконечности. Однако даже при таких оптимальных условиях частота не превышает обратного времени затухания. Что значит, что фазовый переход невозможен и волны пластической деформации практически нереализуемы.

2.1.6 Построение фазовых портретов

Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.26), (2.27). Полученные результаты изображены на рис. 2.3-2.4

Рисунок 2.3. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: типичная картина поведения.

Рисунок 2.4. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: оптимальный режим поведения.

В ЫВОД

В данной работе были рассмотрены фазовые переходы в автоколебательной системе «Хищник-Жертва» и в системе с волнами пластической деформации. Для обоих случаев были получены необходимые уравнения в обезразмеренном виде, после чего были определены координаты особых точек, найдены показатели Ляпунова для найденных точек. Был исследован характер особых точек.

В частности для системы «Хищник-Жертва» были найдены три критические точки, две из которых являются седлами, а третья в зависимости от различных значений параметра, может быть либо узлом, либо фокусом. Фокус соответствует режиму колебаний. Следовательно, в системе «Хищник-Жертва» возможны автоколебания.

Для волн пластической деформации найдена всего одна критическая точка, которая является устойчивым фокусом. Было определено, что, не смотря на возможность устоявшегося колебательного режима, волны пластической деформации практически нереализуемы.