Курсовая работа: Численные характеристики дискретных случайных величин
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Доказательство. Пусть независимые случайные величины и
заданы своими законами распределения вероятностей:
Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения
на каждое возможное значение
; в итоге получим
и
учитывая замечание 3, напишем закон распределения
предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
или
Итак,
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Доказательство. Пусть случайные величины и
заданы следующими законами распределения:
Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению
прибавим каждое возможное значение
; получим
Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через
и
Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
или
(*)
Докажем, что Событие, состоящее в том, что
примет значение
(вероятность этого события равна
), влечет за собой событие, которое состоит в том, что
примет значение
или
(вероятность этого события по теореме сложения равна
), и обратно. Отсюда и следует, что
Аналогично доказываются равенства
и
Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим