Курсовая работа: Численные характеристики дискретных случайных величин

Доказательство. В силу третьего свойства

По второму свойству,

или

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если выражается в линейных метрах, то будет выражаться также в линейных метрах, а в квадратных метрах.

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Чтобы найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин, воспользуемся следующей теоремой.

Теорема: Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому

Отсюда

Или окончательно

Ковариация и коэффициент корреляции

Ковариацией скалярных случайных величин и называется математическое ожидание произведения центрированной первой случайной величины и сопряженной центрированной второй случайной величины:

Чтобы получить формулу для вычисления ковариации действительных случайных величин и , достаточно рассматривать как функцию случайных величин и :

где совместная плотность величин и .