Курсовая работа: Деякі скінченно-різнецеві методи розвязування звичайних диференціальних рівнянь

За допомогою LU розкладання обчислюваний

Обчислюємо значення :

Обчислюємо погрішність

- Перетворюємо вектор Е на одне число є, що характеризує погрішність на цьому кроці.

Ця схема призводить до досить забавної поведінки "швидких" змінних. Поведінка виявляється абсолютно однаковою як у разі релаксаційного рівняння , так і у разі осциляторного рівняння . Саме, при Ch>>1 "швидкі" змінні експоненциально вибуваєть, причому швидкість вибування абсолютно не залежить від величини C: x(t+h)=x(t)/3 . Отже стійкість гарантована, але сподіватися на правильний опис еволюції "швидких" змінних не доводиться.

Повний алгоритм рішення системи ОДУ з адаптивною зміною кроку будується на основі цього рецепту таким самим чином, як будувався повний алгоритм в звичайному (явному) методі Рунге-Кутта п'ятого по-рядка. Єдина модифікація полягає в тому, що міри "1/4" і "1 /5", відповідна п'ятому порядку точність явної схеми, належить замінити на мірі "1/3" і "1/4", відповідна четвертому порядку точність неявної схеми.

Необхідно також нагадати, що для "жорсткої" системи ОДР перетворити вектор Е в одне число 6, що оцінює погрішність, набагато важче, чим для звичайної системи ОДР.

6. Неявні інтерполяційні схеми

Алгоритм неявних інтерполяційних методів дослівно повторює алгоритм звичайних (явних) інтерполяційних методів. Єдина відмінність полягає в тому, що ми не використовуємо звичайну (явну) схему Рунге-Кутта другого порядку:

Ми заміняємо її на неявну схему Рунге-Кутта другого порядку:

Нагадаємо, що для цієї схеми можна використовувати два різних рецепта:

• шукати точне рішення цієї системи нелінійних рівнянь методом Ньютона;

• обмежитися лінеаризованим рівнянням, тобто зробити тільки перший крок методу Ньютона :

У будь-якому випадку доведеться вирішувати СЛР. В більшості випадків можна обійтись другим варіантом, але в дуже нестійких завданнях доведеться вдатися до першого (до речі, при цьому не доведеться сильно міняти текст програми).

Нагадаємо, що існують варіанти інтерполяційного методу з фіксованим кроком Н і змінним порядком m , з фіксованому порядку те і змінним кроком Н і, нарешті, із змінними m і Н . Тут можна привечти тільки простий алгоритм з фіксованим H .

Алгоритм:

Вибираємо постійний крок H за часом (як правило слід брати H близько 0.2). Рухаємося по траєкторії з цим кроком. Кожен окремий крок реалізується так:

Для k = 1,2,.. виконуємо наступне:

Для чергового N_k з набору {4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128} обчислюємо крок h_k = H/N_k .

За допомогою цього кроку h_k знаходимо

тут t_n = t+nh_k , n = 0.. N_k -1 ; при цьому . Зрозуміло, тут не слід обчислювати зворотну матрицю, потрібно просто вирішувати СЛР.

Для кожного х_і по k точок: