Курсовая работа: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения системы (1) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными . Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR , есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x(t))t.

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR , представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство

и

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).