Курсовая работа: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом
Тогда возмущённая дифференциальная система
,
где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе
.
Доказательство. Пусть отражающая функция системы
. Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
. Покажем, что она удовлетворяет и тождеству
Для этого введём функцию по формуле
. Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству
. При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения
это тождество переписывается в виде
Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество
, имеет место соотношения
.
Таким образом, функция является решением задачи Коши
Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество
.
Теперь покажем, что отражающая функция системы
является также и отражающей функцией системы
. Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения
, которое в данном случае должно быть переписано в виде
Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:
Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество
, второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество
. Следовательно, тождество
выполняется и функция
является отражающей функцией системы
. Теорема доказана.
А теперь рассмотрим пример.
Пример
Рассмотрим систему
в которой непрерывные и периодические функции
,
таковы, что
и
– нечётные функции.
Эта система эквивалентна стационарной системе
Здесь и
,
,
.
Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют
периодические решения, то из сказанного следует, что все решения
,
рассматриваемой системы, начинающиеся при
на окружности
, являются
периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при
стремится к одному из указанных периодических.
Общее решение системы