Курсовая работа: Дифференциальные системы эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

, (1)

, , , (2)

где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечётная функция, то и

при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть – отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы )+(равно по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5 . Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

(6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:

(7)

Так как - первый интеграл системы (1), то