Курсовая работа: Дослідження чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь

Похибка ж методу на n – ій ітерації обчислюється так:

Δ< (1.2)

В даній курсовій роботі розглядаються два методи розв’язку нелінійних рівнянь – це метод Ньютона та метод хорд, тому розглянемо їх більш детально. Метод хибного положення (хорд)

Цей метод полягає в тому, що визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться поки кінці інтервалів x_{n +1} , х_n не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці

. (1.3)

Після цього визначають f(x_{n +1} ) і порівнюють його з f(x_n ). Надалі користуються x_{n +1} замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо | x_{n +1} – x_n | < e, то вся процедура повторюється спочатку.

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки ведеться за тим кінцем інтервалу, що рухається.

Похибка розв'язку оцінюється за формулою:

, (1.4)

де М₁ , m₁ – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис 1.1.Метод хорд

Метод Ньютона

Метод Ньютона полягає в побудові дотичної до графіка функції в обраній точці. Наступне наближення знаходиться як точка перетину дотичної з віссю ОХ.В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора:

(1.5)

Члени що містять h у другому і більших степенях відкидаються і в результаті отримується наближена формула для оцінки Х_{n +1} :

х_{n +1} = х_n – , (1.6)

але оскільки цей метод є наближеним, то логічно буде якщо для нього задавати певну похибку і тоді наближене значення кореня буде визначатися з виконання наступної умови: < Δ, де дельта певна задана похибка. Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f’(x)перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f ’’(x) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови:

(1.7)

Грубо оцінити похибку для методу можна так:

, (1.8)

де М₂ – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі

[x_n , x_{n +1} ].

Рис. 1.2. Метод Ньютона

2.Аналіз заданого рівняння

В даній курсовій роботі необхідно розв’язати нелінійне рівняння 5-го порядку, яке відповідно матиме п’ять коренів. Для того, щоб розв’язати це рівняння методами Ньютона та січних, необхідно визначити початкове приблизне наближення, це можна зробити за допомогою графіка цього рівняння (Рис. 2.1), побудувавши його за допомогою математичного пакета Mathcad 2001 Professional.