Курсовая работа: Движение тела под действием силы тяжести

Максимальная дальность полета при данной скорости вылета достигается при угле бросания 45°. Когда угол бросания составляет 30° или 60°, то дальность полета тел для обоих углов оказывается одинаковой. Для углов бросания 75° и 15° дальность полета будет опять одна и та же, но меньше, чем при углах бросания 30° и 60°. Значит, наиболее «выгодным» для дальнего броска углом является угол в 45°, при любых других значениях угла бросания дальность полета будет меньше.

Если бросить тело с некоторой начальной скоростью v_о под углом 45° к горизонту, то его дальность полета будет в два раза больше максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх с такой же начальной скоростью.

Максимальную дальность полета S тела, брошенного под углом α к горизонту, можно найти по формуле:

максимальную высоту подъема H по формуле:

При отсутствии сопротивления воздуха наибольшей дальности полета соответствовал бы угол наклона ствола винтовки равный 45°, но сопротивление воздуха значительно изменяет траекторию движения и максимальной дальности полета соответствует другой угол наклона ствола винтовки – больше 45°. Величина этого угла зависит также от скорости пули при выстреле. Если скорость пули при выстреле 870 м/с, то реальная дальность полета составит примерно 3,5 км, а не 77 км, как показывают «идеальные» расчеты.

Эти соотношения показывают, что расстояние, пройденное телом в вертикальном направлении, не зависит от величины начальной скорости – ведь ее значение не входит в формулу для расчета высоты Н. А дальность полета пули в горизонтальном направлении будет тем больше, чем больше ее начальная скорость.

Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью v₀ под углом α к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы m При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р=const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось O_y вертикально вверх; горизонтальную ось O_x расположим в плоскости, проходящей через О_y и вектор v₀ , а ось O_z проведём перпендикулярно первым двум осям. Тогда угол между вектором v₀ и осью O_x будет равен α

Рис.12.Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести , проекции которой на оси координат равны: P_x =0 , P_y =-P =mg , P_Z =0

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что и т.д. мы после сокращения на m получим:

, ,

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

,

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

при t=0

x=0,

y=0 ,

z=0 ,

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

Подставляя эти значения С₁ , С₂ и С₃ в найденное выше решение и заменяя V_x , V_Y , V_z на придём к уравнениям:

Интегрируя эти уравнения, получим:

Подстановка начальных данных даёт С₄ = С₅ = С₆ = 0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде: