Курсовая работа: Двойной интеграл в механике и геометрии

Если пластинка однородна, т.е. то формулы упрощаются :

где S - площадь пластинки.

в) Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что :

Отметим еще, что интеграл называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

Как мы знаем, объем V тела, ограничен­ного поверхностью , где - неотрицательная функ­ция, плоскостью и цилиндрической поверхностью, направ­ляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции по области D :

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+ z=1, z =0 (рис. 17).

Рис.17Рис.18

Решение. D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак, куб. единиц.

Замечание 1 . Если тело, объем которого ищется, ограни­чено сверху поверхностью а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на пло­скость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух “цилиндрических” тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх­ним - поверхность второе тело имеет нижним осно­ванием также область D, а верхним - поверхность (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

или

(1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда и неотрицательны, но и тогда, когда и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Замечание 2 . Если в области D функция меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) область D₁ где 2) область D₂ ,где . Предположим, что области D₁ и D₂ таковы, что двойные интегралы по этим обла­стям существуют. Тогда интеграл по области D₁ будет положи­телен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D₂ будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать раз­ность соответствующих объемов.

б) Вычисление площади плоской области.

Если мы со­ставим интегральную сумму для функции по области D, то эта сумма будет равна площа­ди S,

при любом способе разбиения. Пере­ходя к пределу в правой части равен­ства, получим

Если область D правильная , то площадь выразится двукратным интегралом

« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 » К-во Просмотров: 685 Бесплатно скачать Курсовая работа: Двойной интеграл в механике и геометрии >>> Скачать <<< Меню Поиск