Курсовая работа: Двойной интеграл в механике и геометрии

Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми

Рис.19

Решение. Определим точки пересечения данных кривых (Рис.19). В точке пересечения ординаты равны, т.е. , отсюда Мы получили две точки пересечения

Следовательно, искомая площадь

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением где функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке возьмём точку Точке P_i будет соответствовать на поверхности точка Через точку M_i проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости выделим такую пло­щадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел этой суммы, когда наибольший из диаметров пло­щадок - стремится к нулю, мы будем называть площадью по­верхности, т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозна­чим через угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

Рис.20 Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

или

(3)

Угол есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности