Подставляя в (2.6) nиз (2.4) и n из (2.2), а в (2.7) p из (2.5) и p из (2.3), получаем

nexp (-qV/kT)= n, (2.8)

pexp (-qV/kT)= p. (2.9)

Отсюда легко определить равновесный потенциальный барьер p–n-перехода j= qV. Из (2.8) находим

j= qV= kTln (n/ n)= kTln (np/n). (2.10)

Из (2.9) получаем

j= kTln (p/ p)=kTln (pn/ n). (2.11)

Из (2.10) и (2.11) следует, что выравнивание встречных потоков электронов и дырок происходит при одной и той же высоте потенциального барьера j. Этот барьер тем выше, чем больше различие в концентрации носителей одного знака в n- и p-областях полупроводника.

Рассчитаем контактную разность потенциалов при 300 К.

n=N=1,010

p=N=1,010

j= kTln(pn/n)=1,3810300ln=

= 414106,26=2,610(Дж)

V===0,16 (В)

3. Расчет толщины слоя объемного заряда

Для определения вида функции j (x), характеризующей изменение потенциальной энергии электрона при переходе его из n- в p-область (или дырки при переходе ее из p- в n-область), воспользуемся уравнением Пуассона

=r (x), (3.1)

в котором r (x) представляет собой объемную плотность зарядов, создающих поле. Будем полагать, что донорные и акцепторные уровни ионизированы полностью и слой dпокинули практически все электроны, а слой d– все дырки. Тогда для области n (x>0) r (x) »qN»qn, для области p (x<0) ) r (x) » - qN» -qp. Подставляя это в (3.1), получаем

=N для x>0, (3.2)

=N для x<0. (3.3)

Так как на расстояниях x£dи x³- d контактное поле в полупроводнике отсутствует, то граничными условиями для этих уравнений являются :

j (x) ½=0, j (x) ½=j; (3.4)

½=0, ½=0. (3.5)

Решение уравнений (3.2) и (3.3) с граничными условиями (3.4) и (3.5) приводит к следующим результатам:

j=N(d- x) для 0<x< d, (3.6)

j=j - N(d+ x) для - d<x<0, (3.7)

d==, (3.8)

d/d=N/N, (3.9)

Из уравнений (3.6) и (3.7) видно, что высота потенциального барьера j (x) является квадратичной функцией координаты x. Толщина слоя объемного заряда согласно (3.8) тем больше, чем ниже концентрация основных носителей, равная концентрации легирующей примеси. При этом глубина проникновения контактного поля больше в ту область полупроводника, которая легирована слабее. При N<<N, например, практически весь слой локализуется в n-области:

d»d==. (3.10)