Курсовая работа: Фізика відкритих систем. Синергетика

Визначимо тепер фрактальну розмірність килима Серпиньського. Маємо

К=1, N= 8=8¹ а=1/3¹

К=2, N= 8·8=8² а=1/3²

К=3, N= 8·8·8=8³ а=1/3³

К=m, N= 8^m а=1/3^m

Таким чином, килим Серпиньского – цевже не лінія, розмірність якої дорівнює одиниці, але ще й не поверхня, оскільки розмірність поверхні дорівнює двом. Це щось проміжне лінією й двовимірною поверхнею. Самим несподіваним є те, що в природі дійсно існують об'єкти, що представляють собою аналог килима Серпиньського в тому розумінні, що їхня розмірність більше одиниці й менше двох. Найбільш відомі з них – це фрактальні агрегати колоїдних часток. Отже, канторова сила – це не чиста математична абстракція.

Як ми вже відзначали, дивні атрактори звичайно близькі по своїй структурі до канторових сил, тому варто очікувати, що розмірність дивного атрактора буде дробовою. Таким чином, значення розмірності можна використати як критерій відмінності простих атракторів від дивних. В основній роботі Рюеля й Такенса термін "дивний" атрактор був уведений авторами саме для того, щоб підкреслити, що такі атрактори не є гладкими множинами.

Через надзвичайну важливість фрактальної розмірності виникає питання про явне її обчислення для тих або інших атракторів динамічних систем.

Існує гіпотеза, висунута Капланом і Йорке, відповідно до якої фрактальна розмірність пов'язана з характеристичними показниками Ляпунова . Ця гіпотеза припускає, що фрактальна розмірність d_F збігається з ляпуновскою розмірністю d_L .

Длятого, щоб встановити геометричну структуру дивного атрактора, необхідно взяти яку-небудь малу область фазового простору й простежити, як із часом вона еволюціонує. Інформацію про зміну малого елемента фазового об'єму динамічної системи дають характеристичні показники Ляпунова.

Деяке критичне значення атрактор може перетерпіти якісну перебудову, а динаміка системи різко змінитися. Зокрема, із граничного циклу може виникнути інваріантний тор і періодичний рух зміниться на квазіперіодичний.

Значення параметрів, при яких відбувається топологічна (або якісна) перебудова сталих режимів руху в системі, називаються біфуркаційними значеннями, а сама перебудова – біфуркацією. При безперервній зміні параметрів можуть виникнути послідовності біфуркацій.

Встановлення в динамічній системі хаотичного режиму руху в результаті тієї або іншої послідовності біфуркацій прийнято називати сценарієм або картиною розвитку хаосу. Тут ми обговоримо найбільш важливі й типові із цих сценаріїв.

Припустимо, що динамічна система, що задає диференціальними рівняннями, залежить від деякого керуючого параметру :

Припустимо також, що система (1) має стаціонарний розв’язок х°. Природно, що це рішення залежить від керуючого параметру, . Допустимо далі, що стаціонарна точка системи (1) стійка при до й нестійка при μ> μ₀ . Отже, при μ = μ₀ реальна частина деяких власних значень матриці лінеаризації стає позитивною, тобто перетинає уявну вісь праворуч.

Якщо при цьому зміниться топологічна структура розбивки фазового простору системи на траєкторії, то точка μ = μ₀ буде точкою біфуркації потоку х(t) динамічної системи (1).

Найбільш відомим прикладом біфуркації стаціонарного стану є біфуркація Андронова - Хопфа, коли стаціонарне рішення х° динамічної системи втрачає стійкість у результаті того, що пара комплексно-сполучених власних значень матриці лінеаризації переходить в праву на півплощину. При цьому в системі збуджуються періодичні коливання з періодом і відбувається біфуркація народження із спочатку стійкої стаціонарної точки граничного циклу. Якщо в цьому випадку народжений цикл стійкий, то говорять про м'яку втрату стійкості.

Інший часто зустрічний механізм біфуркації втрати стійкості стаціонарного стану Х° динамічної системи, - це тверде збудження, коли стійка стаціонарна точка зливається з навколишнім нестійким граничним циклом. У цьому випадку з наближенням керуючого параметру μ до біфуркаційного значення μ₀ область притягання стаціонарного стану х° системи одночасно з розмірами граничного циклу зменшується до нуля, і при μ = μ₀ цикл зникає, зливаючись із Х° і передаючи йому свою нестійкість. При μ = μ₀ всі фазові криві залишають деяку межу точки х.

У цьому випадку реалізується тверда втрата стійкості: при проходженні через до система стрибком переходить на інший режим руху.

Припустимо, що в результаті біфуркації Андронова - Хопфа народився стійкий граничний цикл. Які подальші можливі біфуркації в системі при зміні керуючого параметру? Відповідь на це питання не є однозначною: тут, як і при біфуркації втрати стійкості стаціонарного стану, може реалізуватися декілька випадків. Розглянемо тільки характерні випадках, при реалізації яких подальші біфуркації в системі можуть привести до появи дивного атрактора:

1. Втрата стійкості вихідного циклу й народження інваріантного
двовимірного тора (рис. 7).

2. Народження граничного циклу подвоєного періоду.

Досліджуючи стійкість станів, що відповідають ситуації 1, можна прийти до наступної картини. У результаті біфуркації втрати стійкості граничного циклу у фазовому просторі динамічної системи народжується інваріантний тор. Як і для гамільтонових систем, істотним моментом тут є відношення частот руху уздовж меридіана тору й уздовж його осі. Якщо відношення ірраціональне, тобто не може бути представлене як m/n, де m и n цілі числа, то фазова траєкторія всюди щільно покриває тор. У іншому випадку, тобто при раціональному відношенні частот, у фазовому просторі виникне граничний цикл, що розташований на торі. Поведінка системи в цьому випадку стане періодичною.

З наступною зміною параметра й у фазовому просторі багатомірної динамічної системи може відбутися втрата стійкості двовимірного інваріантного тору й народження тривимірної тороїдальної множини. При цьому поведінка системи характеризується трьома незалежними частотами. Подальша зміна керуючого параметру може привести до послідовності біфуркацій, у результаті яких у фазовому просторі дисипативних динамічних систем виникають інваріантні тори наростаючої розмірності. В кінцевому підсумку ми приходимо до складного квазіперіодичного руху з неспіврозмірними частотами, який при дуже великому μ₀ буде виглядати як хаотичний. Вважаючи, що такий шлях розвитку хаосу дійсно можливий, Ландау і незалежно Хопф висунули гіпотезу, відповідно до якої хаотична динаміка дисипативних систем є не що інше, як рух по інваріантному тору великої розмірності. Такий тор буде займати у фазовому просторі область, що відповідає різним наборам початкових фаз, і фазова траєкторія, що намотується на нього, буде із часом проходити практично через будь-яку як завгодно малу частину цієї області.

Квазіперіодичний рух, нехай навіть із дуже більшим числом неспіврозмірних частот, не може бути названий хаотичним, оскільки для такого руху відсутнє розбігання фазових кривих, відповідальне за появу хаотичної динаміки. Крім того, варто сказати, що багатомірний квазіперіодичний притягаючий рух з більшим числом неспіврозмірних частот не є типовим і зустрічається надзвичайно рідко. Під дією завжди присутніх збурень такий рух із часом вироджується в періодичний, що відповідає появі у фазовому просторі граничного циклу, або ж руйнується й дає початок хаотичному режиму. Відзначимо також, що картина Ландау – Хопфа не підтверджується експериментально: після невеликого числа біфуркацій звичайно спостерігається різкий перехід до хаотичного руху.

Вперше на можливість руйнування тороїдальної множини, у результаті якої відбувається народження дивного атрактора, звернули увагу Д. Рюель і Ф. Такенс. Автори досліджували поводження розв’язку динамічної системи при досить загальних припущеннях щодо характеру векторного поля. Ними було показано, що якщо при зміні керуючих параметрів після трьох біфуркацій (починаючи зі стаціонарного стану) виникає трьохчастотний квазіперіодичний рух, то він нестійкий, легко руйнується, і на місці зруйнованого тривимірного тору з'являється дивний атрактор.

Зупинимося на цьому сценарії розвитку хаосу більш детально.