Курсовая работа: Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ
1.1 Обобщенный алгоритм решения нелинейных САУ
дифференцирование алгебраическое нелинейное уравнение
Большинство известных итерационных методов решения системы F(X)=0 можно записать одной общей формулой
Х m +1 = G (Х m , Х m -1 ,…,Х m - p +1 ),
где G – вектор-функция размерности n , которая определяется способом построения итерационного процесса; р – количество предыдущих значений Х , используемых в данном итерационном процессе.
Если в итерационном процессе используется только одна предыдущая точка (р=1), то
Х m +1 = G (Х m )
Метод дифференцирования по параметру относится к этому случаю.
Основные характеристики итерационных методов:
1. Сходимость итераций. Итерации сходятся, если
lim Х m =Х* при m →∞
Вектор-функция G(Х) называется изображением итерационного процесса. Спектральным радиусом квадратной матрицы А ρ(А) называется максимальный из модулей ее собственных значений. Предположим, что функция G(Х) определена и непрерывна вместе со своей первой производной
G / Х = δG / δ Х
Теорема сходимости.
Если спектральный радиус матрицы G / Х ρ( G / Х )<1 и если векторы Х m +1 = G (Х m ) не выходят за области определения вектор - функций F и G , то процесс итераций Х m +1 = G (Х m ) сходится. При этом предельный вектор Х* = lim Х m при m →∞ является единственной точкой притяжения итераций.
Эта теорема справедлива для любого начального приближения Х0 и поэтому относится к теоремам о глобальной сходимости.
Трудность применения теоремы о глобальной сходимости состоит в том, что надо определять величины ri , i =1, n на каждом m-шаге итерационного процесса. Это практически невозможно.
Поэтому нашли применение теоремы локальной сходимости. При этом предполагают, что точка Х0 лежит близко к Х* . Спектральный радиус матрицы G / Х вычисляется только в точке Х0 : ρ( G / (Х0 ))<1.
2. Выбор величины начального приближения.
Выбор величины Х0 зависит от вида сходимости метода. Если метод имеет локальную сходимость, то Х0 должно быть близко к Х* , если глобальную, то Х0 - любой. Часто Х0 = 0 .
3. Скорость сходимости итераций.
Скорость сходимости итераций оценивается по скорости уменьшения величины ошибки
Em = |Х m -Х*|
Если условия сходимости выполняются, то часто скорость можно оценить формулой
|| Em +1 || = с || Em || k , где k - целое число; с - константа.
Если k=1 , то итерационный метод имеет линейную сходимость. При этом, если с≈1 , то сходимость медленная (метод простой итерации).
Если k =2 , то метод обладает квадратичной скоростью сходимости. Так как || Em ||<1 , то || Em ||2 будет величиной второго порядка малости и поэтому скорость велика (метод Ньютона).
4. Критерий окончания итераций.
Расчеты по формуле Х m +1 = G (Х m ) не могут длиться бесконечно долго. Очевидно, что критерием окончания итерационного процесса могла бы служить величина Em , но нам неизвестно значение Х* . В связи с этим величину Em можно оценить косвенно.