Курсовая работа: Исследование метода дифференцирования по параметру для решения нелинейных САУ

Способ 2. Остановить процесс вычислений, когда ||∆Х ^m || < ε ^доп . ∆Х ^m = Х ^{m +1} – X^m . Чем ближе к Х*, тем меньше величина ||∆Х ^m ||.

Выбор способа зависит от характера поведения функций f_i (Х) вблизи решения.

f_i f_i

E_i ^m

ε^доп

Х_i ^* X_i ^m X_i * X_i ^m X_i

ε^доп

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Из рис. 1.1 видно, что если заканчивать итерационный процесс по величине || F ||, то при этом можно оказаться довольно далеко от Х _i * по Х _i ^m . На рис. 1.2 – наоборот, итерационный процесс заканчивается при малых значениях ||∆Х ^m ||, что приводит к большим ошибкам по || F^m ||.

Способ 3. Чтобы избежать недостатков первых двух способов, контролируют обе нормы, а итерационный процесс заканчивают при том значении m , при котором

max {||∆Х ^m ||, || F (Х ^m )|| }< ε ^доп

Следует заметить, что при плохой обусловленности матрицы G ^/ _Х вблизи Х* возможны колебания значений норм. Тогда нужно применять специальные методы уменьшения этих колебаний.

1.2 Метод дифференцирования по параметру

Здесь алгебраическая задача сводится к задаче интегрирования системы ОДУ, которая формируется следующим образом. Рассмотрим функцию Н(Х, t) как функцию параметра tЄ[0,1], т.е. обозначим Ф(t)=Н(Х, t). Пусть Ф(t) непрерывно дифференцируема по t на интервале [0,1], тогда

Ф^/ (t)=( δH/δХ)·X^/ (t)+ δH/δt.

Функция H(Х, t) удовлетворяет тем же требованиям, что и в методе продолжения решения по параметру. Следовательно, функция Х(t) удовлетворяет уравнению H(Х, t)=0 , откуда получаем Ф^/ (t)=0 . Значит, из последнего соотношения имеем систему ОДУ вида

X^/ (t)= - ( δH/δХ)^-1 ·δH/δt.

Система ОДУ решается при начальных условиях t=0, X(0)=X⁰ . Время меняется от 0 до 1. При t=1 получим решение системы F(X)=0 - вектор Х* с точностью, зависящей от точности метода интегрирования системы. Если Н(Х,t)= F(X) + (t - 1) · F(X⁰ ) , то получим систему ОДУ

X(t)=-J^-1 (Х(t))•F(X⁰ ),

которая является нелинейной по Х .

Данная система решается явными методами Рунге – Кутта, а затем полученное приближенное значение уточняется дискретным методом Ньютона за несколько итераций.

1.3 Явные методы Рунге-Кутта

Свойства методов Рунге-Кутта:

1. Методы являются одношаговыми; чтобы найти X ^{m +1} , нужна информация только о предыдущей точке X^m , t _т .

2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^s , где степень S различна для различных методов и называется порядком метода.

3. Методы не требуют вычисления производных функций f_i ( X , t ), i =1, n , а только самой функции в нескольких точкахна шаге h_m .

Методом Рунге-Кутта 1-го порядка является явный метод Эйлера:

Х^/ =F(Х, t) ;

X^{m +1} = X^m + h_m · F ( X^m , t_m )

Ошибка аппроксимации ε^α ~ h ² _т . Область абсолютной устойчивости – круг радиусом, равным 1 и центром в точке (0, -1) – см. рис. 1.3, кривая 1; область относительной устойчивости – вся правая полуплоскость.

Рассмотрим методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка, которые также используются довольно часто.