Курсовая работа: Колебания кристаллической решетки

Так как колебание однозначно определяется волновым вектором и ветвью, то различных колебаний столько, сколько атомов содержит цепочка. Это общее свойство линейных колебательных систем: количество независимых колебаний (нормальных мод) равно числу степеней свободы системы.

Глава 4. Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки

Энергию колебаний и теплоемкость решетки будем рассчитывать для единичного объема кристалла, т. е. положим нормировочный объем равным единице: V = L ³ = 1.

Чтобы вычислить среднюю энергию колебаний кристаллической решетки, нужно просуммировать среднюю энергию всех типов колебаний (всех состояний фононов):

(43).

Проще всего это сделать при высоких температурах, когда для частот всех колебаний выполняется неравенство ħω_jk << kT (классический предел). Тогда средняя энергия, приходящаяся на каждое колебание, равна k_B T , всего колебаний 3lN = 3lN , для полной энергии E получаем:

(44).

Так как N – число примитивных ячеек кристалла в единице объема, то N = 1/v ₀ , где v ₀ – объем примитивной ячейки.

Теплоемкость решетки при высоких температурах постоянна (закон Дюлонга и Пти): C_V = 3lNk (45).

При невысоких температурах все сложнее. Чтобы точно вычислить энергию решетки, то есть сосчитать сумму (45), необходимо знать дисперсионные зависимости для всех ветвей колебаний. И даже при условии, что зависимости эти известны, аналитическое выражение для энергии получить практически невозможно.

Поэтому для нахождения энергии и теплоемкости решетки применяют различные приближения.

4.1. Модель Эйнштейна

В модели Эйнштейна предполагается, что частоты всех фононов одинаковы: ω_jk = ω ₁ (46).

Тогда для энергии получаем:

(47).

При высоких температурах, k_B T >>ħω ₁ , эта зависимость приводит к выражению (45) для энергии и закону Дюлонга и Пти (46) для теплоемкости.

При низких температурах, kT <<ħω ₁ , энергия колебаний и теплоемкость экспоненциально уменьшаются:

Модель Эйнштейна хорошо описывает вклад в энергию и теплоемкость оптических ветвей фононов, у которых частота слабо зависит от волнового вектора и ее можно считать постоянной. Чтобы учесть только оптические ветви, частоту которых мы полагаем равной ω ₁ , нужно вместо 3l писать число этих ветвей. В общем случае, частоты разных оптических ветвей могут сильно отличаться друг от друга и их вклад в энергию и теплоемкость нужно учитывать отдельно.

4.2. Модель Дебая

Опыт показывает, что теплоемкость действительно падает с уменьшением температуры, но не экспоненциально, а пропорционально T ³ . Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалле найдутся колебания, энергия фонона которых меньше k_B T . Это – длинноволновые акустические колебания. Именно такие колебания, точнее те из них, частота которых меньше k_B T /ħ, вносят основной вклад в энергию при низких температурах. Колебания с большими частотами (оптические и более коротковолновые акустические) ''заморожены'': фононов этих колебаний экспоненциально мало.

Сделаем простую оценку. Вклад в энергию вносят фононы, энергия которых меньше kT . Пусть скорость звука j -й акустической ветви равна _j и не зависит от направления волнового вектора: ω = _j |k |. Тогда вклад в энергию дают колебания с волновыми векторами, меньшими k_max = k_B T /(ħ _j ). Плотность разрешенных значений волновых векторов в k -пространстве кристалла равна V /(2π )³ , поэтому внутри сферы радиуса k_max содержится разрешенных значений волновых векторов. Это число колебаний одной акустической ветви, вносящих существенный вклад в энергию. На каждое такое колебание приходится энергия порядка kT . Для энергии колебаний одной акустической ветви получаем:

(50).