Курсовая работа: Комплексные числа: их прошлое и настоящее
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:
(x1 ,y1 )+(x2 ,y2 )=(x1 +x2 , y1 +y2 ); (1)
(x1 ,y1 )∙(x2 ,y2 )=(x1 ∙x2 – yi y2 , xi y2 + x2 y1 ). (2)
Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, imanginerum – мнимый).
Два комплексных числа z1 =(x1 ,y1 ) и z2 =(x2 ,y2 ) называются равными только в том случае, когда x1 =x2 и y1 =y2 . Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)
Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2 =-1, равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).
Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:
а) z1 +z2 =z2 +z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)
б) z1 z2 =z2 z1
в) z1 +(z2 +z3 )=(z1 +z2 )+z3 (сочетательный закон или ассоциативность)
г) z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3
д) (z1 +z2 )z3 =z1 z3 +z2 z3 (распределительный закон или дистрибутивность)
Вычитание и деление комплексных чисел z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1 -z2 и частное z1 /z2 как решения соответствующих уравнений z+z2 =z1 и zz2 =z1 (при z2 ≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:
z1 -z2 =(x1 -x2 )+i(y1 -y2 ), (4)
z1 /z2 =(x1 x2 +y1 y2 )/(x2 2 +y2 2 ) + i((y1 x2 -x1 y2 )/(x2 2 +y2 2 )) (5)
Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1 +(-z2 ), где число (-z2 ) называется противоположным z2 ; деление – как действие, обратное умножению: z=z1 (z2 -1 ), где z2 -1 – число, обратное для z2 (z2 ≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:
- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2 =-1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы.
Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).
Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью.
Число r=√x2 +y2 , равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.
Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.
Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).
Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0ч) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x2 +y2 ; sinφ=y/√x2 +y2 .
Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.
Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е. z= r(cosφ+isinφ) (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.
Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью символа ei φ =cosφ+isinφ (7). Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме z=rei φ (8)