Курсовая работа: Комплексные числа: их прошлое и настоящее

11. Найтисумму 1+e^π cosπ+e^2π cos2π+…+e^nπ cosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+e^x+ix +e^2x+i2x +…+e^nx+inx = 1+e^x(1+i) +e^2x(1+i) +…+e^nx(1+i) =(1-( e^x(1+i) )ⁿ⁺¹ )/(1- e^x(1+i) )= =1-e^x(n+1)(1+i) /(1-e^x(1+i) )=((1-e^x(n+1)(1+i) )(1-e^x(1-i) )/((1-e^x(1+i) )(1-e^x(1-i) )) =(1- e^x(n+1)(1+i) - e^x(1-i) +e^x(n+2+ni) )/|1- e^x(1+i) |² =

=(1-e^(n+1)x e^i(n+1)x -e^x e^-ix +e^(n+2)x e^xni )/(1-2e^x cosx+e^2x )

т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+e^x cosx+e^{2 x} cos2x+…+e^nx cosnx=(1-e^{( n +1) x} cos(n+1)x+e^{( n +2) x} cosnx-e^x cosx)/(1-2e^x cosx+e^{2 x} )

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+e^π cosπ+e^{2 π} cos2π+…+e^nπ cosnπ= (1+e^π +e^{π ( n +2)} (-1)ⁿ -e^{( n +1)} (-1)^{n +1} )/(1+2e^π +e^2π )= =((1+e^π )+(-1)ⁿ e^{π ( n +1)} (e^π +1))/(e^π +1)² =(1+(-1)ⁿ e^{π ( n +1)} )/(1+e^π )

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|² =((|z|² -1)+2iy)/|z+1|² ; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|² -1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня ⁴ √1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=⁴ √1+i√3=⁴ √a, где a=1+i√3.

Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то z_k =⁴ √2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z₀ = ⁴ √2(cosπ/12+isinπ/12); z₁ =⁴ √2(cos7π/12+isin7π/12);

Z₂ =⁴ √2(cos13π/12+isin13π/12); z₄ =⁴ √2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)⁶ -1/(√3-i)⁶ =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))⁶ -((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))⁶ = =(1-i√3)⁶ /|1+i√3|¹² -(√3+i)⁶ /|√3+i|¹² =z₁ -z₂ =(т.к. |z₁ |=|z₂ |=2; φ₁ =-π/3; φ₂ =π/6, то)=1/2⁶ ∙2⁶ (cos(-π/3)+isin(-π/3))⁶ -1/2⁶ ∙2⁶ (cosπ/6+isinπ/6))⁶ = =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.