Курсовая работа: Комплексные числа: их прошлое и настоящее
Для данного комплексного числа z=x+iy число x-iy (отличающееся от z лишь знаком при мнимой части) называется сопряженным и обозначается символом z. Переход от числа z к числу z называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными (друг к другу), т.к. (z)=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис.2).
Отсюда следует, что |z|=|z|, argz=-argz. Кроме того,
z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2 +y2 =|z|2 ,
а также: z1 +z2 =z1 +z2 ; z1 z2 =z1 z2 ; (z1 /z2 )=z1 /z2 ; P(z)=P(z), где Р (z) – любой многочлен с действительными коэффициентами; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q– многочлены с действительными коэффициентами.
4. Извлечение корней.
Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zn =a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения, которые можно найти по формуле:
√a=√α+iβ=±((√|a|+α)/2 ± i(√|a|-α)/2)), где знак «+» в скобках берется при β>0, «-» - при β<0.
5. Геометрический смысл алгебраических операций.
Пусть даны два комплексных числа z1 и z2 . В результате сложения этих чисел получается число z3 , изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z1 +z2 =0A+0B=0C=z3 .
Рис.3
Разность (z1 -z2 ) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z1 и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z1 -z2 =z1 +(-z2 )=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z1 -z2 ) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ.
Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.
Умножение. Пусть даны два комплексных числа z1 =r1 (cosφ1 +isinφ1 ) и z2 =r2 (cosφ2 +isinφ2 ). Перемножая их получим z1 z2 =r1 r2 (cos(φ1 +φ2 )+isin(φ1 +φ2 )). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.
Деление. Если требуется разделить z1 на z2 , то выполняем следующие преобразования: z1 /z2 =(z1 z2 )/(z2 z2 )=(r1 (cosφ1 +isinφ1 )r2 (cosφ2 -isinφ2 ))/ (r2 (cosφ2 +isinφ2 )r2 (cosφ2 -isinφ2 ))=(r1 /r2 )(cos(φ1 -φ2 )+isin(φ1 -φ2 )), т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Возведение в степень. Умножая число z=r(cosφ+isinφ) само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения zn =rn (cosφ+isinφ)n =rn (cosnφ+isinnφ). Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводимся его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимаем вид (cosφ+isinφ)n = cosnφ+isinnφ (9). Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).
Извлечение корня. Пусть а=rei φ , z=ρeiσ . Решаем уравнение zn =a для вычисления n √a: ρn einσ =rei φ . Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу 2π, получаем: ρn =r, nσ-φ=2πK, или ρ=n √r; σK +1 =(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом, zk =n √r(cosφ+isinφ)=n √r((cosφ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n)) (10), где n √r , - арифметический корень, а К=0,1,2,…,n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет “n” различных значений zk (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).
Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел zk +1 и zk постоянна и равна 2π/n: σk +1 -σk =(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения n √a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.
IV . Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
1. Формула Кардано.
Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3 +ax2 +bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3 +py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у0 =α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3 +β3 +( α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений
α+β=у0 ;
αβ=-р/3, а значит, существуют.
При этих условиях уравнение (12) примет вид α3 +β3 +q=0, а т.к. еще α3 β3 =-р3 /27, то получаем систему
α3 +β3 =-q;
α3 β3 =-р3 /27,