Курсовая работа: Комплексные числа: их прошлое и настоящее

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z₁ =-2, как и от точки z₂ =3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (х_с ;у_с ), где х_с =(-2+0)/2=-1; у_с =(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)² +(2x-z)² =2Re(z² ).

Доказательство:

1) (2x-z)² +(2x-z)² = 4x² -4xz+z² +4x² -4xz+z² =8x² -4x(z+z)+z² +z² =8x² -4x2x+(z+z)² -

-2zz=(2x)² -2|z|² =4x² -2(x² +y² )=2(x² +y² )=2Re(z² ).

2) 2Re(z² )=2Re(x+iy)² =2Re(x² -y² +2ixy)=2(x² -y² ).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z₁ -(4+2i)z₂ =1+3i;

(4+2i)z₁ +(2+3i)z₂ =7.

Решение: Применим правило Крамера:

∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)² =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

∆_z1 = (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

∆_z2 = (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z₁ = 21+23i =1; z₂ = 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z₁ =1; z₂ =-i.

9. Доказать, что (а² +1)(b² +1)(c² +1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа² +1=|a+i|² , тогдаимеем: (а² +1)(b² +1)(c² +1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))² +(ab+bc+ca-1)² .

10. Найтисуммы:

С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(e^iφ +e^{2 iφ} +…+e^inφ ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: e^iφ +e^{2 iφ} +…+e^inφ = e^iφ ((1- e^inφ )/(1- e^iφ ))= (e^iφ (1- e^inφ ) (1- e^{- iφ} ))/( (1- e^iφ ) (1- e^{- iφ} ))= =(e^iφ -1- e^{iφ ( n +1)} + e^inφ )/|1- e^iφ |² .

Поскольку |1- e^iφ |² =|(1-cosφ)-isinφ|² =(1-cosφ)² +sin² φ=4sin² (φ/2);

Re(e^iφ -1- e^iφ(n+1) + e^inφ )= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin² (φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(e^iφ -1- e^iφ(n+1) + e^inφ )=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin² (φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);