Курсовая работа: Комплексные числа: их прошлое и настоящее
y1.2.3 =n √-q/2+√q2 /4+p3 /27+3 √-q/2-√q2 /4+p3 /27, причем для каждого из трех значение первого корня 3 √α соответствующие значения второго корня 3 √β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3 √α+3 √β, где α=-q/2+√q2 /4+p3 /27; β=-q/2-√q2 /4+p3 /27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4 +ax3 +bx2 +cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4 +ру2 +qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2 +p/2)2 +qy+(r-p2 /4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y2 +p/2+α)2 -[2α(y2 +p/2)+α2 -qy+p2 /4-r]=0 (15)
Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2 -qy+(αp+α2 +p2 /4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2 -8α(αp+α2 +p2 /4-r)=0, или 8α3 +8pα2 +8α(p2 /4-r)-q2 =0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».
V . Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
1. Вычислить: ii2 i3 …i10 =?
Решение: ii2 i3 …i10 =i1+2+…+10 =i11∙10/2 =i55 =ii54 =i(i2 )27 =i(-1)27 =-i.
2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1 -z2 |, г) Arg(z1 /z2 )?
Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;
в) |z1 -z2 |- расстояние между точками z1 и z2 , изображающими комплексные числа z1 и z2 ;
г) Arg(z1 /z2 ) – угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2 .
3. Доказать, что cos3φ=cos3 φ-3sin2 φcosφ; sin3φ=3cos2 φsinφ-sin3 φ.
Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3 =(cos3 φ-3cosφsin2 φ)+(3cos2 φsinφ-sin3 φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3 φ-3sin2 φcosφ, sin3φ=3cos2 φsinφ- sin3 φ.
4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i
3x-5y=4
x+2y=16 x=8; y=4.
Ответ: z=8+4i.
5. Доказать тождество |z1 +z2 |2 +|z1 -z2 |2 =2(|z1 |2 +|z2 |2 ) и вычислить его геометрический смысл.
Доказательство: |z1 +z2 |2 +|z1 -z2 |2 = (z1 +z2 )( z1 +z2 )+( z1 -z2 )( z1 -z2 )= (z1 +z2 )( z1 +z2 )+ +( z1 -z2 )( z1 -z2 )=2 z1 z1 +2 z2 z2 =2(|z1 |2 +|z2 |2 ).
Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
6. Найти геометрическое место точек:
а) |z-z0 |=R; б) z=z0 +Reit (0≤t<2π)
Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0 .
в) |z-3i|=|z+2|;
г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
д) |z|≤R
π/4≤argz≤5π/4