Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .

Подмножество группы называется подгруппой , если – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой , если для всех и

Каждая группа обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами . Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть – подмножество группы и . Через

обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .

Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .

Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,

Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,

Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,

Для элемента имеются следующие две возможности.

Все степени элемента различны, т.е. для целых . В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок .

Имеются совпадения при . Если, например, , то и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором называют порядком элемента и пишут

Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой . В этом случае в группе имеется элемент такой, что , все элементы в группе являются целыми степенями элемента :

Если элемент имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и – бесконечная циклическая группа .

Если элемент имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка , состоит из элементов. В этом случае – конечная циклическая группа порядка .

Две группы и называются изоморфными , если существует биекция такая, что для всех . Факт изоморфизма записывают так: .

Пусть – группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество

всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .