Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Пусть – подгруппа группы . Подмножество элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если

– правая трансверсаль подгруппы в группе , то

– конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в правой трансверсали подгруппы , т.е.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы в группе . Если

– левая трансверсаль подгруппы в группе , то

Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в левой трансверсали подгруппы , т.е. .

Пусть и – подгруппы группы и . Множество

называется двойным смежным классом группы по подгруппам и .

При двойной смежный класс

превращается в произведение подгрупп и . В общем случае не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы и перестановочны , если . Равенство означает, что для любых существуют такие, что .

Если , то говорят, что группа есть произведение своих подгрупп и , либо группа факторизуема подгруппами и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где .

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех .

Запись читается так: – нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой . Единичную группу считают непростой группой.

Пусть – нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е.

Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Пусть – простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку