Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным , если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть – группа, и – ее подгруппы. Напомним, что произведение определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где , .

Произведение называется прямым , если подгруппы и нормальны в и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа является прямым произведением своих подгрупп и , если:

– каждый элемент единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы называют такую нормальную подгруппу группы , что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись означает, что – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то и из условий следует, что или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой , если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,

Группа называется нильпотентной , если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой , если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой .

Говорят, что подгруппа группы дополняема в , если существу?