Курсовая работа: Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
Пусть 
- минимальная нормальная в 
подгруппа. Тогда 
. Если 
, то индекс 
в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому - простая подгруппа и изоморфна 
или 
. Теперь 
нечетен, 
и - подгруппа из 
.
Если 
, то 
, поэтому 
.
Пусть 
, 
- простое. Так как 
- циклическая группа порядка 
, то 
либо совпадает с 
, либо G совпадает с . Пусть 
и 
- подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм 
группы централизует 
, см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе 
группы есть подгруппа 
индекса 2 в 
, допустимая относительно . Теперь 
- - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в 
и не принадлежит 
.
9. 
для 
.
Пусть - подгруппа четного индекса в группе 
, где 
, и пусть 
- центральная инволюция в . Если 
, то 
- подгруппа в 
четного индекса. Так как 
, то сверхразрешима, поэтому и сверхразрешима.
Пусть не принадлежит . Тогда 
. Допустим, что 
несверхразрешима. Так как 
- подгруппа из 
, то из доказательства леммы 7 следует, что изоморфна 
или 
. Но теперь силовская 2-подгруппа в 
элементарная абелева, противоречие.
теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале - разрешимая группа, 
и 
. Если 
- не 2-группа, то легко проверить, что 
и по лемме 6 группа из пункта 2 теоремы.
Пусть неразрешима. Если 
, то по лемме 8 теорема верна. Пусть 
. Если 
разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа 
имеет четный индекс в группе . Так как 
сверхразрешима и 
, то - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть 
- централизатор подгруппы в группе .
Для каждого нечетного простого подгруппа 
имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому 
для всех нечетных 
и индекс 
в группе четен или равен 1. Если 
, то в есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, 
и содержится в центре .
Если 
, то - квазипростая группа и не изоморфна . Так как 
, то по лемме 8 группа изоморфна или 
. Теперь по теореме из , с.646 группа изоморфна или 
.
Пусть 
- собственная в подгруппа. Тогда имеет нечетный индекс и 
. Так как 
- собственная в подгруппа, то из леммы 8 получаем, что 
изоморфна , a изоморфна 
. Противоречие. Теорема доказана полностью.
2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.
В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.
B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:
1) 
или 
, где 
- 5-группа;
2) 
, где - 3-группа.
C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и 
- дисперсивная группа порядка 
, где 
.
Далее, если 
, то
и 
делит 
. Если 
, то
группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.
Здесь 
- наибольшая нормальная в
