Курсовая работа: Корни многочленов от одной переменной
Многочлен от одной переменной х будем обозначать так: f ( x), g ( x), h ( x) и т.д. например, если первый приведённых выше многочленов обозначить f ( x), то можно записать: f ( x) =0 x4 +2 x3 + (-3) x2 +3/7 x+
.
Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.
Те члены не нулевого многочлена, у коэффициенты равны нулю, не записывают. Например, вместо f ( x) =0 x3 +3 x2 +0 x+5 пишут: f ( x) =3 x2 +5 ; вместо g ( x) =0 x2 +0 x+3 - g ( x) =3 . Таким образом, каждое число - это тоже многочлен. Многочлен h ( x), у которого все коэффициенты равны нулю, т.е. нулевой многочлен, записывают так: h ( x) =0 .
Коэффициенты многочлена, не являющиеся свободным членом и равные 1, тоже не записывают. Например, многочлен f ( x) =2 x3 +1 x2 +7 x+1 можно записать так: f ( x) = x3 + x2 +7 x+1 .
Знак ‹‹-›› отрицательного коэффициента относят к члену, содержащему этот коэффициент, т.е., например, многочлен f ( x) =2 x3 + (-3) x2 +7 x+ (-5 ) записывают в виде f ( x) =2 x3 -3 x2 +7 x-5 . При этом, если коэффициент, не являющийся свободным членом, равен - 1, то знак "-" сохраняют перед соответствующим членом, а единицу не пишут. Например, если многочлен имеет вид f ( x) = x3 + (-1) x2 +3 x+ (-1), то его можно записать так: f ( x) = x3 - x2 +3 x-1 .
Может возникнуть вопрос: зачем, например, уславливаться о замене 1х на х в записи многочлена, если известно, что 1
х=х для любого числа х ? Дело в том, что последнее равенство имеет место, если х - число. В нашем же случае х - элемент произвольной природы. Более того запись 1х мы пока не имеем права рассматривать как произведение числа 1 и элемента х , ибо, повторяем х - это не число. Именно таким обстоятельством и вызваны условности в записи многочлена. И если мы дальше говорим все-таки о произведении, скажем, 2 и х без всяких оснований, то этим допускаем некоторую нестрогость.
В связи с условностями в записи многочлена обращаем внимание на такую деталь. Если имеется, например, многочлен f ( x) =3х3 -2х2 -х+2 , то его коэффициенты - это числа 3, - 2, - 1,2. Конечно, можно было бы сказать, что коэффициентами являются числа 0, 3, - 2, - 1, 2, имея в виду такое представление данного многочлена: f ( x) =0 x4 -3 x2 -2 x2 - x+2 .
В дальнейшем для определенности будем указывать коэффициенты, начиная с отличного от нуля, в порядке их следования в записи многочлена. Так, коэффициентами многочлена f ( x) =2 x5 - x являются числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Дело в том, что хотя, например, член с х2 в записи отсутствует, это лишь означает, что его коэффициент равен нулю. Аналогично свободного члена в записи нет, поскольку он равен нулю.
Если имеется многочлен f ( x) = an xn + an -1 xn -1 +... + a1 x+ a0 и an ≠0, то число n называют степенью многочлена f ( x) ( или говорят: f ( x) - n -й степени) и пишут ст. f ( x) = n . В этом случае an называется старшим коэффициентом , а an xn - старшим членом данного многочлена.
Например, если f ( x) =5 x4 -2 x+3 , то ст. f ( x) =4 , старший коэффициент - 5, старший член - 5х4 .
Рассмотрим теперь многочлен f ( x) = a , где а - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена? Легко заметить, что коэффициенты многочлена f ( x) = an xn + an -1 xn -1 +... + a1 x+ a0 пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, n -1, n и если an ≠0, то ст. f ( x) = n . Значит, степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось). Вернемся теперь к многочлену f ( x) = a , a ≠0, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все остальные коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена, отличных от нуля. Значит ст. f ( x) =0 .
Таким образом, многочлены нулевой степени - это числа, отличные от нуля.
Осталось выяснить, как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени, т.е. что он не имеет степени. Такая условность вызвана некоторым обстоятельством, которые будут рассмотрены несколько позже.
Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f ( x) = a , где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена, как легко заметить, равна наибольшему показателю степени переменной х , коэффициент при которой равен нулю.
В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени f ( x) = ax2+ bx+ c называется квадратным трехчленом . Многочлен первой степени вида g ( x) = x+ c называется линейным двучленом .
Равенство многочленов. Значение многочленов
Два многочлена f ( x) и g ( x) считаются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной х и свободные члены (или, короче, равны их соответствующие коэффициенты). В этом случае пишут: f ( x) = g ( x).
Например, многочлены f ( x) = x3 +2 x2 -3 x+1 и g ( x) =2 x2 -3 x+1 не равны, ибо у первого из них коэффициент при х3 равен 1, а у второго - нулю (согласно принятым условностям мы можем записать: g ( x) =0 x3 +2 x2 -3 x+1 . В этом случае пишут: f ( x) ≠ g ( x). Не равны и многочлены h ( x) =2 x2 -3 x+5 , s ( x) =2 x2 +3 x+5 , так как у них коэффициенты при х различны. А вот многочлены f1 ( x) =2 x5 +3 x3 + bx+3 и g1 ( x) =2 x5 + ax3 -2 x+3 равны тогда и только тогда, когда а =3, а b =-2.
Пусть даны многочлен f ( x) = an xn + an -1 xn -1 +... + a1 x+ a0 и некоторое число с. Число f ( c) = an cn + an -1 cn -1 +... + a1 c+ a0 называется значением многочлена f ( x) при х=с .
Таким образом, чтобы найти f ( c), в многочлен вместо х нужно подставить с и провести необходимые вычисления. Например, если f ( x) =2 x3 +3 x2 - x+5 , то f (-2) =2 (-2) 3 + (-2) 2 - (-2) +5=3.
Рассмотрим многочлен f ( x) = a и найдем, например, f (2). Для этого в многочлен вместо х надо подставить число 2 и произвести необходимые вычисления. Однако в нашем случае f ( x) = a и переменной х в явном виде нет. Вспомним, что рассматриваемый многочлен можно записать в видеf ( x) =0 x+ a . Теперь все в порядке, можно подставить значение х =2: f (2) =0 2+ a= a . Заметим, что для данного многочлена f ( c) = a при любом с. В частности, нулевой многочлен при любом с принимает значение, равное нулю.
Вообще говоря, многочлен при различных значениях переменной х может принимать различные значения. Нас же довольно часто будут интересовать те значения х , при которых многочлен принимает значение 0. Число с называется корнем многочлена f ( x), еслиf ( c) =0 .
Например, если f ( x) = x2 -3 x+2 , то числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена, ибо f (1) =0 и f (2) =0. А вот многочлен f (x) =5 корней вообще не имеет. В самом деле, при любом значении х он принимает значение 5, а значит, никогда не принимает значение 0. Для нулевого же многочлена, как легко заметить, каждое число является корнем.
Поиск корней многочленов является одной из важнейших задач алгебры. Находить корни линейных двучленов и квадратных трехчленов учат еще в школе. Что касается многочленов более высоких степеней, то для них такая задача является весьма трудной и не всегда разрешимой. В дальнейшем мы неоднократно будем ею заниматься. А сейчас заметим только, что найти корни многочлена f ( x) = an xn + an -1 xn -1 +... + a1 x+ a0 и решить уравнение an xn + an -1 xn -1 +... + a1 x+ a0 =0 - это эквивалентные задачи. Поэтому, научившись находить корни многочлена, мы научимся решать соответствующие уравнения, и наоборот.
Обратим внимание на различие между двумя утверждениями: "многочлен f ( x) равен нулю (или, что то же самое, многочлен f ( x) - нулевой)" и "значение многочлена f( x) при х=с равно нулю". Например, многочлен f ( x) = x2 -1 не равен нулю, ибо у него есть ненулевые коэффициенты, а его значение при х=1 равно нулю. Короче, f ( x) ≠0 , а f (1) =0 .
Между понятиями равенства многочленов и значения многочлена существует тесная взаимосвязь. Если даны два равных многочлена f (x) и g (x), то их соответствующие коэффициенты равны, а значит, f ( c ) = g ( c ) для каждого числа с . Другими словами, если f ( c ) = g (c ) для каждого числа c , то равны ли многочлены f ( x) и g ( x)? Попробуем ответить на этот вопрос в частном случае, когда f ( x) = px2 + qx+ r , а g ( x) = kx+ m . Так как f ( c) = g ( c) для каждого числа с , то, в частности, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (-1).
Вычислив фигурирующие в этих равенствах значения рассматриваемых многочленов, получим систему
Из этой системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f ( x) = g ( x).
Таким образом, для рассмотренного примера ответ на поставленный вопрос положителен. Оказывается, это справедливо и в общем случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и утверждениями теории многочленов.