Курсовая работа: Корни многочленов от одной переменной
Таблица 7.
| 1 | 1 | -3 | |
| 2 | 1 | 3 | 3 |
Находим, что остаток при делении s ( x) на х-2 равен 3, т.е. s ( x) не делится на х-2 . Значит, f ( x) не делится на (х-2) 4 .
Таким образом, f ( x) делится на (х-2) 3 , но не делится на (х-2) 4 . Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f ( x).
Обычно проверку корня на кратность выполняют в одной таблице. Для данного примера эта таблица имеет следующий вид:
Таблица 8.
| 1 | -5 | 3 | 22 | -44 | -24 | |
| 2 | 1 | -3 | -3 | 16 | -12 | 0 |
| 2 | 1 | -1 | -5 | 6 | 0 | |
| 2 | 1 | 1 | -3 | 0 | ||
| 2 | 1 | 3 | 3 |
Другими словами, по схеме Горнера деление многочлена f ( x) на х-2 , во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g ( x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g ( x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f ( x) на (x-2) 3 .
Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких a и b многочлен f ( x) = x4 +2 x3 + ax2 + ( a+ b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?
Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:
Таблица 9.
| 1 | 2 | a | a+b | 2 | ||
| -2 | 1 | 0 | a | -a+b | 2a-2b+2 | |
| -2 | 1 | -2 | а+4 | -3a+b-8 | ||
| -2 | 1 | -4 | а+12 | |||
Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда
Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2 .
Рациональные корни многочлена
Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.
При этом можно довольно быстро "натолкнуться" на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа невозможно, так как их бесконечно много.
Другое дело, если бы нам удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных чисел. А для тридцати чисел можно и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.
Если несократимая дробь l/ m ( l, m- целые числа) является корнем многочлена f ( x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член - на 1.
В самом деле, если f ( x) = an xn + an -1 xn -1 +... +a1 x+a0, an ≠0 , где an , an-1 ,...,a1 , a0 - целые числа, то f (l/m) =0 , т.е.
а n (l/m) n +an-1 (l/m) n-1 +... + a1 l/ m+ a0 =0.
Умножим обе части этого равенства на mn . Получим
an ln +an-1 ln-1 m+... +a1 lmn-1 +a0 mn =0 .
Отсюда следует
an ln =m (-an-1 ln-1 -... - a1 lmn-2 -a0 mn-1 ).
Видим, что целое число an ln делится на m . Но l/ m - несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, an ln делится на m и m взаимно просты с ln , значит, an делится на m<