Курсовая работа: Корни многочленов от одной переменной

Напомним, что требуется найти неполное частное, т.е. его коэффициенты, и остаток.

Выразим их из полученных равенств:

b_n-1 = a_n ,

b _n-2 = cb_n-1 + a_n-1, b _n-3 = cb_n-2 + a _n-2,

b₁ = cb₂ + a_2, b₀ = cb₁ +a_1, r = cb₀ + a_0.

Мы нашли формулы, по которым можно вычислять коэффициенты неполного частного s ( x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.

Таблица 1.

Коэффициенты f (x)

an	an-1	an-2	…	a0
c	bn-1	bn-2 = cbn-1 + an-1	bn-3 = cbn-2 +an-2	…	r = cb0 + a0

Коэффициенты s (x) остаток

В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f ( x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c.

Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного частного s ( x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент b_{n -1} , который, как мы установили, равен a_n .

Коэффициент, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.

Разделим, например, многочленf ( x) =3 x⁴ -5 x² +3 x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера.

При заполнении первой строки этой схемы нельзя забывать о нулевых коэффициентах многочлена.

Так, коэффициенты f ( x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f ( x).

Итак, выполняем деление по схеме Горнера:

Таблица 2.

3	0	-5	3	-1
2	3	6	7	17	33

Получим неполное частное s ( x) =3 x³ +6 x² +7 x+17 и остаток r=33 . заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33.

Разделим теперь тот же многочлен f ( x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим:

Таблица 3.

3	0	-5	3	-1
-2	3	-6	7	-11	21

В результате имеем f ( x) = ( x+2) (3 x³ -6 x² +7 x-11) +21 .

Корни многочленов

Ранее мы установили что если с - корень многочленаf ( x) делится на х-с . Сейчас обобщим это утверждение.

Пусть с₁ , с₂ , …, с _m - различные корни многочлена f ( x). Тогда f ( x) делится на х-с₁ , т.е. f ( x) = ( x- c₁ ) s₁ ( x). Положим в этом равенстве х=с₂ . Получим f ( c₂ ) = ( c₂ - c₁ ) s₁ ( c₂ ) и, так f ( c₂ ) =0 , то (с₂ -с₁ ) s₁ ( c₂ ) =0 . Но с₂ ≠с₁ , т.е. с₂ -с₁ ≠0 , а значит, s₁ ( c₂ ) =0 . Таким образом, с₂ - корень многочлена s₁ ( x). Отсюда следует, что s₁ ( x) делится на х-с₂ , т.е. s₁ ( x) = ( x- c₂ ) s₂ ( x). Подставим полученное выражение для s₁ ( x) в равенство f ( x) = ( x- c₁ ) s₁ ( x). Имеем f ( x) = ( x- c₁ ) ( x- c₂ ) s₂ ( x). Положив в последнем равенстве х=с₃ с учетом того, что f ( c₃ ) =0, с₃ ≠с1 , с₃ ≠с₂ , получим, что с₃ - корень многочлена s₂ ( x). Значит, s₂ ( x) = ( x- c₃ ) s₃ ( x), а тогда f ( x) = ( x- c₁ ) ( x- c₂ ) ( x- c₃ ) s₃ ( x) и т.д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с₄ , с₅ , …, с _m , мы, наконец, получим f ( x) = ( x- c₁ ) ( x- c₂ ) … (х-с _m ) s_m ( x), т.е. доказано формулируемое ниже утверждение.

Если с₁ , с₂ , …, с _m - различные корни многочлена f ( x), то f ( x) можно представить в виде f ( x) = ( x- c₁ ) ( x- c₂ )... ( x- c_m ) s_m ( x).

Отсюда вытекает важное следствие.

Если с₁ , с₂ ,…, с _m - различные корни многочлена f ( x), то f ( x) делится на многочлен (х-с₁ ) (х-с₂ ) … (х-с _m ).

Как мы уже отмечали, одной из важных задач в теории многочленов является задача отыскания корней многочлена. В связи с этим существенным представляется вопрос о их числе. В самом деле, если дан какой-то многочлен и уже найдено, скажем, 10 его корней, то нужно знать, следует ли продолжать поиски. А вдруг этот многочлен больше не имеет корней? В таких случаях нам будет полезна приводимая ниже теорема.

Число различных корней ненулевого многочлена f ( x) не больше, чем его степень .

Действительно, если f ( x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f ( x) ≥0 .