Курсовая работа: Математические модели поведения производителей

или в нашем случае

Поделив первое уравнение на второе, получаем

Подставив это соотношение в условие w_K K* + w_L L* = 150, находим

Решение можно проиллюстрировать геометрически. На рис. 1 изображены изокосты (линии постоянных издержек для С = 50, 100, 150) и изокванты (линии постоянных выпусков для Х = 25,2; 37,8).

Рисунок 1

Изокосты имеют следующие уравнения:

5K+10L=C = const.

Изокванты имеют следующие уравнения:

В оптимальной точке К* = 20, L* = 5 изокванта X* = 37,8 и изокоста, проходящие через эту точку, касаются, поскольку согласно (10) нормали к этим кривым, заданные градиентами , коллинеарны.

Норма замены труда фондами в оптимальной точке

т.е. один работающий может быть заменен двумя единицами фондов.

Решая задачу фирмы (5) на максимум прибыли, находим единственный оптимальный набор ресурсов х* >0 (рассматриваем случай, когда все ресурсы войдут в набор). Этому набору отвечает единственное значение издержек С* = wx* . Решим теперь задачу (8) на максимум выпуска при заданных издержках С* . Если F(x) — неоклассическая производственная функция, то в оптимальном решении х* > 0, причем это решение единственно.

Таким образом, с одной стороны,

,

а с другой стороны –. Поскольку П(х^* ) = pF(x^* )-wx^* pF()-w=П() и wx^* = w=С^* , то , но , поэтому .

Так как решение задачи на максисмум прибыли (5) единственно, то = х* . Итак, если задача на максимум прибыли имеет единственное решение х* > 0 , то ей отвечает задача на максимум выпуска при заданных издержках С* = wx* , причем последняя имеет такое же решение, как и первая (см. рис. 1).

Геометрическое место точек касания изокост и изоквант при разных значениях издержек С определяет долгосрочный путь развития фирмы Х(С), т.е. показывает, как будет увеличиваться (уменьшаться) выпуск, если издержки возрастут (уменьшатся). Поскольку эта зависимость монотонна, то существует обратная монотонная функция издержек

С = С(Х).

Поскольку Х(С) — максимальный выпуск при заданных издержек то издержки С(Х) , отвечающие этому максимальному выпуску X , — минимальные издержки.

Если известна функция минимальных издержек С(Х), оптимальный размер выпуска снова определяется из условия максимума прибыли

max П(х), П(х) = рХ -С(X). (11)

Приравниваем к нулю производную: