Курсовая работа: Метод Крамера

Як нам вже відомо, тройка чисел називаються рішенням системи (1), якщо при підстановці їх в рівняння системи замість x, y і z вийдуть вірні числові рівності.

Розглянемо спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівні нулю:

і=1, 2, 3.

В цьому випадку, якщо всі вільні члени рівнянь системи рівні нулю:

,

то очевидно, люба тройка чисел (x; y; z) являється розв’язком цієї системи. Якщо ж вільні члени рівнянь рівні нулю, то система не має рішень.

Розглянемо тепер більш цікавий випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (1) рівні нулю. Нехай, наприклад, . Тоді система еквівалентна наступній:

Останнє рівняння цієї системи помножимо на і вилучаємо почленно із першого рівняння, в результаті получимо рівняння

. (2)

Аналогічно, помножив останнє рівняння на і вилучаючи почленно із другого рівняння будемо мати

. (3)

Очевидно, що система

(4)

у якої перше рівняння виходить із (2), а друге із (3) множенням на, еквівалентна системі (1).

Таким чином, якщо 0, то дослідження системи (1) зводиться до дослідження системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

(5)

Розглянемо спочатку випадок, коли всі коефіцієнти рівнянь системи (5) дорівнюють нулю. Тоді, якщо вільні члени рівнянь системи (5) рівні нулю, то люба пара чисел (x;y) являється рішенням системи (5) і, отже, люба трійка чисел (x;y;z), де

,

являється рішенням системи (1). Якщо ж хоча б у одного із рівнянь системи (5) вільний член не дорівнює нулю, то система (5), то і система (1) не мають рішень.

Розглянемо випадок, коли не всі коефіцієнти рівнянь системи (5) рівні нулю. Нехай, наприклад,

Перше рівняння системи (5) помножимо на , друге – на - і додамо; після очевидних перетворень отримаємо рівняння

де

Таким чином, якщо , то система (5) еквівалентна системі

Якщо , то очевидно, люба пара чисел (x;y), де