Перемножая матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения t_ij :

(1.3)

После того, как матрица Т найдена, систему (1.1) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами

T¢y = b, Tx = y. (1.4)

Обратный ход . Записываем в развернутом виде системы (1.4):

(1.5)

(1.6)

И из этих систем (1.5) и (1.6) последовательно находим

(1.7)

При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.

Заметим, что при действительных a_ij могут получиться чисто мнимые t_ij . Метод применим и в этом случае.

Метод квадратных корней дает большой выигрыш во времени по сравнению с другими методами (например, методом Гаусса), так как, во-первых, существенно уменьшает число умножений и делений (почти в два раза для больших n), во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.

Всего метод квадратных корней требует

операций умножения и деления (примерно в два раза меньше, чем метод Гаусса), а также n операций извлечения корня.

2. Описание программного обеспечения

Метод квадратных корней был реализован через функцию function [e,x]=mkk(a,f) , с входными переменными а и f и выходными e и х, где

а – матрица коэффициентов А,

f – столбец свободных членов,

х – столбец найденных решений,

е – столбец ошибок.

Столбец ошибок вычисляется, как Е=А*х-f.

Текст функции на языке MatLab:

function [e,x]=mkk(a,f)

f=f'; %столбец f переводим в строку

n=size(a,1); % вычисляем мерность матрицы А

if (a==a')

if (det(a)~=0) % проверяем, чтобы система имела единственное решение

if (size(f',1)==n) %проверяем соответствует ли мерность матрицы А мерности вектора f

t=zeros(n); %создаем матрицу элементов T и заполняем ее нулями