Курсовая работа: Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

x* О [c,b] , если f(с)Ч f(а) > 0 ;

x* О [a,c] , если f(c)Ч f(b) < 0 .

Если f'(x) не меняет знак на [a,b], то обозначая c=x₁ и считая начальным приближением a или b получим итерационные формулы метода хорд с закрепленной правой или левой точкой.

x₀ =a, x_i+1 = x_i - f(x_i )(b-x_i ) / (f(b)-f(x_i ), при f '(x)Ч f "(x) > 0 ;

x₀ =b, x_i+1 = x_i - f(x_i )(x_i -a) / (f(x_i )-f(a), при f '(x)Ч f "(x) < 0 .

Сходимость метода хорд линейная.

1.2 Алгоритм метода Ньютона

Построим эффективный алгоритм вычисления корней уравнения. Пусть задано начальное приближение . Вычислим в этой точке значение функции и её производной . Рассмотрим графическую иллюстрацию метода:

.

Далее получим следующее приближение в точке , проводя касательную из точки () до пересечения с осью абсцисс:

(8)

Продолжая этот процесс, получим известную формулу Ньютона:

(9)

y

x

Рис. 1.

Приведем простейшую рекурсивную подпрограмму-функцию:

function X_Newt(x,eps:real):real;

var y:real;

begin

y:=x-f(x)/f1(x);

if abs(f(x)) > eps

then X_Newt:=X_Newt(y,eps)

else X_Newt:=y

end;

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (1) к эквивалентному уравнению вида:

x=g(x) (10)