Курсовая работа: Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

Решить уравнение методом Ньютона.

x² - e^-x = 0.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Решение:

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 2*x + e^-x .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = 2 - e^-x .

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾ ) * f’’(x⁽⁰⁾ ) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	0, 632	2, 368	0, 267
1	0, 733	0, 057	1, 946	0, 029
2	0, 704	0, 001	1, 903	0, 001
3	0, 703

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Пример 4.

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x –e^-x/2 +x-1=0.

Решение:

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = -sin x + e^-x/2 /2+1.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = -cos x - e^-x/2 /4.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x⁽⁰⁾ ) * f’’(x⁽⁰⁾ ) > 0.

Пусть x⁽⁰⁾ = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x⁽⁰⁾ = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

k	x(k)	f(x(k))	f’(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	-0. 066	0. 462	0. 143
1	1. 161	-0. 007	0. 372	0. 018
2	1. 162	0. 0001.	0. 363	0. 001
3	1. 162