Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр

задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х();

у = у();

z = z(). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(), y(),…,z ())≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров = α0, , ..., соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения [1].

Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7 - 9 класс»

Алгебра. 7 класс.

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№236, 243). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

Также в данном учебнике в §5 «Линейная функция» (глава 2 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков (см. [28]).

Алгебра 8 класс.

При изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе дополнительных упражнений для более углубленного повторения материала предлагаются уравнения, содержащие параметр (№№ 645, 646, 660, 663-672), где необходимо найти значение переменной (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней. Можно выделить два номера (№№ 661, 662), где необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения.

При изучении остальных тем учебника 8 класса параметр не использовался.

Алгебра. 9 класс.

Использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. В разделе «дополнительные задачи» приводятся задания с параметром на исследование:

области значений;

расположения графика относительно прямой;

вершины параболы; нулей функции;

принадлежность данных точек функции, содержащей два параметра.

При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом (параллельный перенос).

При изучении систем уравнений предлагаются дополнительные задачи с параметром на исследование количества решений системы.

В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено (см. [29]).

Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 по 9 класс » и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника (см. [30], [31]).

При изучении линейной функции (7 класс глава 6 §28) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a (a0). При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.