Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр
при а <1 уравнение не имеет решений.
Показательные уравнения, содержащие параметр
Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: а f (x) = b φ(х) (*), где а>0, b>0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:
При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.
При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.
При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.
При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению 
(c>0, c≠1) на области D (см. [1]).
Пример. Решить уравнение: а х + 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х 
R, а > 0, b >0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
2) При а = b = 1, х R;
3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 
х = 3;
4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1;
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1;
6) При 
, 
получим: уравнение 
, которое не имеет решения;
7) При а ≠ b и 
(а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:
, х + 1 = (3 – х) log a b , 
.
Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или , уравнение не имеет решений;
при а = b = 1, х R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3;
при а ≠ 1, b = 1 х = -1;
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;
при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) .
Логарифмические уравнения, содержащие параметр
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).
Пример. Решить уравнение
2 – log 
(1 + х) = 3 log а 
- log 
(х 2 – 1)2.