Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:

ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.

в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.

Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении (см. [1]).

Пример. Решить уравнение х - = 1. (6)

Решение: метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

(7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

Особое значение: а = 0,5. Отсюда:

при а > 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );

при а = 0,5 х = 0,5;

при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).

при подстановке х2 = 0,5 ( 1 - ) в (7) получим:

-0,5 ( 1 + ) =

Так как левая часть равенства отрицательна, то х2 не удовлетворяет исходному уравнению.

Подставим х1 = 0,5 ( 1 + ) в уравнение (7):

.

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

.

Имеем истинное равенство при условии, что .

Это условие выполняется, если а≥1. Так как равенство истинно при а≥1, а х1 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.

Ответ.