Курсовая работа: Методы решения задач линейного программирования с n-переменными
Решение задачи графическим методом
Решение задачи симплекс-методом
Аналитическая часть
Заключение
Список используемой литературы
В ведение
Цель курсового проектирования — закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования с n-переменными и развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники. Объектом исследования будет конкретная задача, описанная ниже. В курсовой работе рассмотрим графический и симплекс-методы линейного программирования с n-переменными и найдем оптимальный план производства товаров, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль.
Актуальность подобных задач в настоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, т.к. проблема оптимального планирования производства сейчас, в постиндустриальный век, является, наверное, второй по степени важности после проблемы наилучшей организации передачи и хранения информации, а в России, скорее всего, главной, если говорить исключительно о развитии научного прогресса в нашей стране.
Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными
Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего с написанием машинного кода.
Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно — основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.
Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.
Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.
В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида:
(1.1)
В системах (1.1) коэффициенты aij и правые части bi являются числами.
Системы (1.1) называются системами ограничений.
Точка в n - мерном пространстве
(1.2)
удовлетворяющая системе (1.1), называется допустимым планом.
Основной задачей линейного программирования (ОЗЛП) с n-переменными называется задача о нахождении такого допустимого плана, который доставляет максимум функции
(1.3)
Функция Z, определенная соотношением (1.3), называется функцией прибыли (целевой функцией).
Допустимый план, доставляющий максимум функции (1.3), называется оптимальным планом.
Иногда в задачах линейного программирования вместо нахождения максимума функции прибыли Z требуется найти минимум функции затрат
(1.4)
В этом случае с помощью введения функции Z = − R задача о нахождении минимума функции затрат R сводится к задаче о нахождении максимума функции прибыли Z.
Графический метод решения задач линейного программирования с n -переменными
Задача линейного программирования для n-переменных
Рассмотрим задачу формирования плана производства.
Некоторое предприятие может выпускать определённый набор продукции. Нормы затрат известны. Требуется построить производственный план, учитывающий ограниченность ресурсов.
Формализация
n - число различных видов продукции.
m - число различных ресурсов.
Таблица №1
| Вид продукции | Норма расхода ресурса на единицу продукции | Прибыль на единицу продукции | ||||||
| 1 | 2 | 3 | ... | i | … | m | ||
| 1 | a11 | c21 | a31 | … | ai1 | … | am1 | c1 |
| 2 | a12 | c22 | a32 | … | ai2 | … | am2 | c2 |
| 3 | a13 | c23 | a33 | … | ai3 | … | am3 | c3 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| j | a1j | c2j | a3j | … | aij | … | amj | cj |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| n | a1n | a2n | a3n | … | ain | … | amn | cn |
| Ограничения на ресурсы | b1 | b2 | b3 | … | bi | … | bm | |
aij - объём i-того ресурса, который расходуется на производство одной единицы j-того вида продукции i=1..m, j=1..n.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--